La existencia de un conjunto medible con medida entre racionales y los reales

Question

Hay un subconjunto medible E ⊆ R tal que siempre que a < b son números reales tenemos tanto $m(E ∩ (a, b)) > 0$$m((a, b) -E) > 0$ ? Esta es una pregunta más en mi análisis real de la clase, pero no está clasificada, sólo por diversión.

Yo estaba pensando acerca de la "grasa conjunto de Cantor"(https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set), y jugar con él un poco, pero de alguna manera todavía puedo encontrar "huecos" entre los números reales. Puede alguien darme alguna sugerencia para que yo pueda seguir ? Gracias !!!

Answer 1

Como una ligera re-formulación del problema, vamos a intentar construir un par de distintos conjuntos medibles $A, B\subset\mathbb{R}$ tanto $A\cap(a,b)$ $B\cap(a,b)$ tiene medida positiva para cualquier intervalo de $(a,b)$. Esta es la idea detrás de una posible solución: basta considerar los intervalos de $(a,b)$ donde $a$ $b$ son racionales. Deje $A$ $B$ turnarse para recoger la grasa Cantor establece que desea que contenga (que son distintos de toda la grasa Cantor conjuntos elegidos hasta ahora). Dado que sólo hay countably muchos racional de los intervalos, tanto en $A$ $B$ puede asegurarse de que, finalmente, elegir una grasa conjunto de Cantor contenida en cada uno de los racionales del intervalo.