$a_1=1$ ; $a_{n+1}=\sqrt{3a_n-1}$ $\quad$ $(n\ge1)$
Ahora tengo que demostrar que es cierto para $n=1$ que es fácil. Tengo que asumir que es cierto para $n=k$ Por lo tanto:
$\sqrt{3a_{k}-1}$ $\gt$ $\sqrt{3a_{k-1}-1}$
Y tengo que demostrar que es cierto para $n=k+1$ por lo que tengo que probar:
$\sqrt{3a_{k+1}-1}$ $\gt$ $\sqrt{3a_{k}-1}$
¿He expuesto esto correctamente?
Este es el punto en el que me quedo atascado. Por lo que se ve, ya parece una inducción muy débil.
Su hipótesis inductiva es: $\sqrt{3a_{k} - 1} > a_{k}$ .
Al demostrar la $k \implies k+1$ caso:
Recuerda que $\sqrt{3a_{k+1} - 1}$ puede reescribirse en términos de $a_k$ .
Específicamente:
$a_{k+1} = \sqrt{3a_{k} - 1}$ ; por lo que su desigualdad se convierte en:
$$\sqrt{3\sqrt{3a_{k} - 1} - 1} > \sqrt{3a_{k} - 1} \iff 3\sqrt{3a_{k} - 1} - 1 > 3a_{k} - 1 \iff \sqrt{3a_{k} - 1} > a_{k}$$
donde hemos asumido positividad en todo momento, y la desigualdad final es su hipótesis inductiva.
Sí, tiene mucho sentido. Creo que la notación que estaba adoptando hacía que todo fuera poco claro.
Al calcular los límites obtengo dos valores positivos, que son 0,38 y 2,61. Me dicen que $a_n$ < 3 para todo n $\ge$ 1. Así que sé que estoy limitado arriba por 2,61, pero ¿qué significa eso para 0,38? ¿Es el límite inferior a medida que mi serie se acerca $\infty$ ? Hasta ahora sólo he encontrado ejemplos en los que mi límite era un positivo y un negativo, y el negativo, por supuesto, puede descartarse fácilmente. Pero esto no es así aquí.
@anna_xox Observe que el primer término es $1$ y la secuencia (¡en consonancia con el post aquí!) es aumentando -- así que entre $0.38$ y $2.61$ si cada término es $\geq 1$ y la secuencia converge, entonces el límite debe ser este último, es decir $a_n = 2.61\ldots$ como $n \rightarrow \infty$ .
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $a_n\geq 1\implies a_{n+1}\geq 1. $ Entonces, por inducción, el número real positivo $a_{n+1}=\sqrt {3 a_n-1}$ existe para cada $n\in N.$
Así que lo siguiente es válido: $a_{n+2}>a_{n+1}\iff \sqrt {3 a_{n+1}-1}>\sqrt {3 a_n-1}\iff 3 a_{n+1}-1>3 a_n-1\iff a_{n+1}>a_n.$
La segunda equivalencia de la línea anterior es válida porque $x\geq 1\implies 3 x-1>0.$
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Pista: resolver la desigualdad $\sqrt{3x+1}\geq x \iff x\in [\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}]$ , entonces se puede probar cada $a_n$ en este rango.