Clases de equivalencia en un espacio de Hilbert

Question

Estoy leyendo algo acerca de la información cuántica/computación cuántica, la teoría, y me he topado con un muro. Yo sé lo que se entiende por equivalencia de la clase y la manera en que algo se puede dividir en clases de equivalencia, pero necesito ayuda en las siguientes dos preguntas:

1. ¿Cómo puede una partición de un espacio de Hilbert ser, naturalmente, se dio cuenta?

2. Cómo una densidad de operador puede ser visto como una clase de equivalencia que representan una amplia gama de diferentes posibles conjuntos?

Para el 1. No tengo ni idea, mientras que para el 2. Estaba pensando que tiene algo que ver con la ecuación de la expectativa de algunos observables $\hat{A}$, $\langle \hat{A }\rangle =tr (\rho \hat{A})$, dado que la traza es cíclicamente invariantes y de manera unitaria de transformación $|\psi '\rangle \rightarrow \hat{U } |\psi \rangle$, $\hat{A'}\rightarrow \hat{U^{-1}}\hat{A}\hat{U}$, porque

$$\langle \hat{A' }\rangle=tr (\rho ' \hat{A'})=tr(\hat{U^{-1}}\rho\hat{U} \hat{U^{-1}}\hat{A}\hat{U})=tr(\hat{U^{-1}}\rho \hat{A}\hat{U})=tr(\rho \hat{A}\hat{U}\hat{U^{-1}})= \langle \hat{A }\rangle$$

Pero el mismo argumento funciona para la expectativa calcula a través del teorema de Ehrenfest.

He buscado por todas partes y no encontré nada.

Answer 1

En el contexto de la física, no son "naturales" de las relaciones de equivalencia motivado por el siguiente concepto: los objetos matemáticos que determinan la misma física deben ser considerados equivalentes. Estas las relaciones de equivalencia conducir a las particiones de los conjuntos en los que están definidas.

Equipado con esta idea, vamos a examinar los dos puntos que mencionas:

1. Deje $\mathcal H$ ser un espacio de Hilbert. La no-cero de los elementos de este espacio puede ser visto como miembros de un sistema cuántico. Dos de esos estados que difieren en un valor distinto de cero complejo factor debe ser considerado equivalente, ya que determinan la misma física (por ejemplo, el rendimiento de las mismas probabilidades de transición). Como resultado, hay una físicamente natural de equivalencia de la relación en $\mathcal H$ define de la siguiente manera: un vector distinto de cero $|\psi_1\rangle$ se dice que es equivalente a otro distinto de cero vector $|\psi_2\rangle$, siempre que exista un número complejo distinto de cero $c$ para los que \begin{align} |\psi_1\rangle = c|\psi_2\rangle. \end{align} Las clases de equivalencia determinadas por esta relación son los llamados rayos, y el conjunto de todas estas clases de equivalencia se llama la proyectiva espacio de Hilbert determinado por $\mathcal H$. Este conjunto es a menudo denotado $P(\mathcal H)$.

2. Deje $p = (p_1, p_2, \dots)$ ser una secuencia de no negativo números reales cuya suma es $1$, y deje $\Psi = (|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, \dots)$ ser una secuencia de vectores de la unidad de longitud en un espacio de Hilbert $\mathcal H$. Un par de $\mathscr E = (p,\Psi)$ de dichas secuencias se llama un conjunto. Esta definición matemática puede considerarse como correspondientes a $N\gg 1$ sistemas cuánticos tales que $N_k = p_k N$ de ellos están preparados en estado puro $|\psi_k\rangle$. Por lo tanto, cada una de las $p_k$ puede ser pensado como la probabilidad de que uno de los $N$ sistemas está preparado en el estado puro,$|\psi_k\rangle$. Para cada conjunto de $\mathscr E$, podemos asociar una densidad operador de la siguiente manera: \begin{align} \rho_\mathscr E = \sum_kp_k|\psi_k\rangle\langle\psi_k|. \end{align} Decimos que un conjunto a $\mathscr E_1$ es equivalente a un conjunto $\mathscr E_2$, siempre que se determine la misma densidad que la del operador: \begin{align} \rho_{\mathscr E_1} = \rho_{\mathscr E_2}. \end{align} La idea detrás de esta definición es que la densidad de operador asociado con cada conjunto determina toda la física asociada con ella (por ejemplo, conjunto de los promedios de las características observables), por lo que desde un punto de vista físico, conjuntos produciendo la misma densidad que el operador no debe ser considerado distintas.