Evaluación de $ \int_{0}^{1}\left(\sqrt[4]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^4}\right)dx$

Question

Evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sqrt[4]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^4}\right)dx$

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribirlo como $$I = \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt[4]{1-x^7}dx-\int_{0}^{1}\sqrt[7]{1-x^4}dx$$

Usando ahora $$\displaystyle \bullet \int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$$

Así que obtenemos $$I = \displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-x^7\right)^{\frac{1}{4}}dx+\int_{1}^{0}\left(1-x^4\right)^{\frac{1}{7}}dx$$

Ahora dejemos $$\displaystyle f(x) = \left(1-x^{7}\right)^{\frac{1}{4}}\;,$$ Entonces $$f^{-1}(x) = (1-x^4)^{\frac{1}{7}}$$ y también $f(0) = 1$ et $f(1) =0$

Tan Integral $$\displaystyle I = \int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{f(0)}^{f(1)}f^{-1}(x)dx$$

Ahora dejemos que $f^{-1}(x) = z\;,$ Entonces $x=f(z)$ Así que obtenemos $dx = f'(z)dz$

Tan Integral $$\displaystyle I =\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}z\cdot f'(z)dz$$

Ahora la integración por partes para la segunda integral, obtenemos

$$\displaystyle I =\int_{0}^{1}f(x)dx+\left[z\cdot f(z)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(z)dz$$

Así que usando $$\displaystyle \bullet\; \int_{a}^{b}f(z)dz = \int_{a}^{b}f(x)dx$$

Así que obtenemos $$\displaystyle I =\int_{0}^{1}f(x)dx+f(1) -\int_{0}^{1}f(x)dx = f(1) =0$$

Mi pregunta es si podemos resolverlo Algunos $\bf{short\; way,}$ Si es así, por favor, explique aquí

Merci

Answer 1

Una pista: Obsérvese que ambas integradas representan la misma forma geométrica , a saber $X^4+Y^7=1$ .