¿Hay alguna razón para que haya más grupos con 16 clases conjugacy que con 15 o 17?
Es bien conocido el ejercicio para demostrar que un grupo con una clase conjugacy tiene un solo elemento, de un número finito de grupo con dos clases conjugacy debe ser cíclico de orden dos, y de un número finito de grupo con tres clases conjugacy debe ser cíclico de orden tres o no abelian de orden seis. En algún momento yo (junto con todo el mundo y su hermano) clasificaron los grupos finitos con cuatro clases conjugacy, pero nunca me miró más allá de que hasta el día de hoy.
Mis resultados son sólo parciales, pero no pude dejar de notar local máximos en mi censo en 10 clases (suave), 14 clases (medio), de 16 clases (sharp), y 18 clases (medio), con sus correspondientes salsas a las 11 (suave), 15 (sharp), y 17 (sharp).
La mano que no puedo pensar en por qué un grupo pueden ser más propensos a tener un número par de clases de un número impar, pero tal vez esto es bien conocido. Cuatro y cinco clases son relativamente bien conocidos, como en uno de mis favoritos de papeles, Miller (1919).
- Miller, G. A. "Los grupos que poseen un pequeño número de conjuntos de conjugar los operadores". Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 20 (1919), no. 3, 260-270. MR1501126 JFM47.0094.04 DOI:10.2307/1988867
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nicky Hekster
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Su número 16 me recuerda el bello Teorema que para un grupo G de impar orden, k(G) $\equiv$ | G| (mod 16). Aquí k(G) es el número de clases GACION de G.
Y me gustaría añadir que en 1903 Edmund Landau demostró que, para cualquier entero positivo k, son solamente finito muchos grupos finitos, hasta isomorfismo, con clases de GACION de exactamente k. Sin embargo, su prueba no dice nada acerca de las frecuencias con que se presentan números de clase GACION.
