Composición de relaciones. Las relaciones son asignaciones funcionales y mutuamente inversas. Zorich - MAI p22

Question

$\def\R{\mathcal{R}}$

La composición de la $\mathcal{R}_2 \circ \mathcal{R}_1$ de las relaciones $\mathcal{R}_1$ $\mathcal{R}_2$ se define como sigue:

$$\mathcal{R}_2 \circ \mathcal{R}_1 := \{(x,z)|\exists y(x\mathcal{R}_1 y \wedge y \mathcal{R}_2 z\}$$ Deje $\Delta_X$ ser la diagonal de $X^2$ $\Delta_Y$ la diagonal de $Y^2$. Mostrar que si las relaciones $\mathcal{R}_1\subset X\times Y$ $\mathcal{R}_2 \subset Y \times X$ son tales que $(\mathcal{R}_2 \circ \mathcal{R}_1=\Delta_X)\wedge(\mathcal{R}_1 \circ \mathcal{R}_2 = \Delta_Y)$, en tanto las relaciones son funcionales y se definen mutuamente inversas de las asignaciones de $X$$Y$.

Voy a tratar de resolver esto más adelante, pero primero debo nota, que esto es de Zorich - Análisis Matemático I, página 22, el Ejercicio 1.3.5, P1a). Además, yo no toleran tales preguntas.

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Mi intento:

¿Qué significa que una relación sea funcional?

$$(x \R y_1) \wedge (x \R y_2 ) \implies ( y_1 = y_2)$$

Esto corresponde a la relación como una función.

¿Qué significa para dos relaciones para definir mutuamente inversas de las asignaciones de $X$$Y$.

Dado que las relaciones son funciones(si la tiene), entonces para cumplir con este tenemos:

$$f:X\to Y, G: Y\to X \text{ to have: }$$ $$g \circ f = e_X, f \circ g = e_Y$$

Donde $e_X$ $e_Y$ son las señas de identidad de las asignaciones en $X$ $Y$ respectivamente.

Answer 1

Para mostrar que $ \mathcal{R}_1$ es una relación funcional, se puede proceder como sigue.

\begin{eqnarray*} x_1 \in X &\implies& (x_1, x_1) \in \Delta_X \\ &\implies& (x_1, x_1) \in \mathcal{R}_2 \circ \mathcal{R}_1 \end{eqnarray*}

Se desprende de la anterior declaró definición de $ \mathcal{R}_2 \circ \mathcal{R}_1$ y por encima de la que existe al menos una $y_1$, tal que: \begin{equation*} (x_1, y_1) \in \mathcal{R}_1 \wedge (y_1, x_1) \in \mathcal{R}_2 \end{ecuación*}

Ahora supongamos que: \begin{equation*} \exists (x_1, y_2) \in \mathcal{R}_1 \end{ecuación*}

De las dos declaraciones anteriores, podemos empezar a razón de la siguiente manera: \begin{eqnarray*} (x_1, y_1) \in \mathcal{R}_1 \wedge (x_1, y_2) \in \mathcal{R}_1 &\implies& (y_1, x_1) \in \mathcal{R}_2 \wedge (x_1, y_2) \in \mathcal{R}_1 \\ &\implies& (y_1, y_2) \in \mathcal{R}_1 \circ \mathcal{R}_2 \\ &\implies& (y_1, y_2) \in \Delta_Y \\ &\implies& y_1 = y_2 \end{eqnarray*}

Esto demuestra que $ \mathcal{R}_1 $ es una relación funcional. Una exactamente análogo argumento puede ser usado para demostrar que $ \mathcal{R}_2 $ es también una relación funcional.

Para demostrar que las dos relaciones definen mutuamente inversas de las asignaciones de $X$$Y$:

A partir de la anterior prueba de $\mathcal{R}_1$ ser una relación funcional, tenemos el siguiente resultado:

\begin{equation*} \forall x \in X \; \exists! \, y \in Y, \mbox{ such that } (x,y) \in \mathcal{R}_1 \end{ecuación*}

A partir de los resultados análogos que prueban $\mathcal{R}_2$ es una relación funcional, podemos igualmente deducir que: \begin{equation*} \forall y \in Y \; \exists! \, x \in X, \mbox{ such that } (y,x) \in \mathcal{R}_2 \end{ecuación*}

De lo anterior se desprende dos resultados que $\mathcal{R}_1$ $\mathcal{R}_2$ definen mutuamente inversas de las asignaciones de $X$$Y$.