En la evaluación de $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}$ , había una estrategia tal como para evaluarla como $\lim_{s \to \infty}\int_{0}^{s}\frac{\sin x}{x}= \lim_{s \to \infty}\int_{0}^{s}\sin x \int_{0}^{+\infty}e^{-xt}dt $ Pero para usar el teorema de Fubini tenemos que saber de antemano que la función es absolutamente integrable. ¿Cómo sabemos que $\sin x e^{-xt}$ es absolutamente integral en $(0,s)\times(0,+\infty)$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Utilice el hecho de que $|\sin x|\leq x$ para $x\geq 0$ . La función $xe^{-xt}$ es integrable en $(0,s)\times (0,\infty)$ por el teorema de Tonelli (esta función es no negativa, y la integral iterada se puede calcular explícitamente si integramos en la $t$ dirección primero). Esto significa que $\sin(x)e^{-xt}$ es integrable, ya que su valor absoluto está limitado por algo integrable.