Índices escalonados ($\Lambda^\mu{}_\nu$ vs $\Lambda_\mu{}^\nu$) en las transformaciones de Lorentz

Question

Tengo algunas preguntas abiertas sobre el uso de la escalonada de los índices en la escritura de transformación de Lorentz y sus inversas y transpone.

¿Cuáles son los significados respectivos de $\Lambda^\mu{}_\nu$$\Lambda_\mu{}^\nu$? ¿Cómo utilizar este índice escalonado notación para indicar transposición o inversa?

Si quiero tomar cualquiera de estos objetos y escribir explícitamente como matrices, entonces existe una regla para saber que el índice de etiquetas de fila y de que las etiquetas de columna para un elemento de una matriz? La regla es: "(índice de la izquierda, a la derecha del índice) = (fila, columna)" o es "(parte superior del índice, menor índice) = (fila, columna)" o hay una regla diferente para $\Lambda^\mu{}_\nu$$\Lambda_\mu{}^\nu$?

Existen diferentes convenciones de cualquier parte de esta utilizadas por diferentes autores?

Como un ejemplo concreto de mi confusión, voy a tratar de mostrar dos definiciones de una transformación de Lorentz son equivalentes.

Definición-1 (típico QFT libro): $\Lambda^\mu{}_\alpha \Lambda^\nu{}_\beta \eta^{\alpha\beta} = \eta^{\mu\nu}$

Definición-2 ($\Lambda$ matriz debe preservar pseudo producto interior dado por $\eta$ matriz): $(\Lambda x)^T \eta (\Lambda y) = x^T \eta y$, para todos los $x,y \in \mathbb{R}^4$. Esto implica, en términos de los componentes de la matriz (y ahora voy a cambiar al álgebra lineal en la notación, lejos de la física-tensor de la notación): $\sum_{j,k}(\Lambda^T)_{ij} \eta_{jk} \Lambda_{kl} = \eta_{il}$. Esta última ecuación es mi Definición de "-2" de una transformación de Lorentz, $\Lambda$, y yo no puedo ver como "Definición-1", es decir, yo no puedo manipular lejos de la ligera diferencia en el orden de los índices.

Answer 1

Por convención, los vectores se escriben como vectores columna, mientras que los vectores duales se escriben como vectores fila. Esto significa que, en principio, superior de los índices deben columnas de índice y menor índice debe filas de índice. Sin embargo, en la práctica, normalmente traducimos rango-2 tensores para matrices de orden de los índices, el primero de la indexación de las filas, el segundo de la indexación de las columnas.

La única manera en que puedo pensar para hacer esta traducción de tensores para matrices estructural bien definida (que nunca he visto hacer en la literatura), es la fuerza de todo el rango de 2 tensores en la forma $\cdot\;^\mu{}_\nu$, lo cual puede lograrse mediante la contracción con los "tensores de Kronecker', es decir el rango de 2 tensores, cuyos componentes son: 1 si los índices de acuerdo y 0 en caso contrario.

Vamos a llamar a estos tensores $\overline\delta^{\mu\nu}$$\underline\delta_{\mu\nu}$.

Entonces, la matriz producto dado en su pregunta $$ x^T\cdot\eta\cdot y $$ podría traducirse en $$ \left(x^\mu\underline\delta_{\mu\nu}\right)\cdot\left(\overline\delta^{\nu\alpha}\,\eta_{\alpha\beta}\right)\cdot\left(y^\beta\right) $$ El primer término tiene un único libre de índice inferior (también conocido como un vector fila), el segundo término de una libre superior e inferior del índice (también conocido como una matriz) y el tercero un superior libre de índice (también conocido como un vector columna).

Como todos los de Kronecker tensores pueden ser removidos a través del índice de ajuste, esto es equivalente a la mucho más simple expresión $$ x^\mu\,\eta_{\mu\beta}\,y^\beta $$

Como se puede ver, mientras que no hay ningún símbolo especial para la transposición en el índice de notación es normalmente implícita por el índice al que se suman a lo largo podría ser explícita, mediante el uso de la 'Kronecker tensores' - pero todo lo que se podía ganar es añadir una complejidad innecesaria.

Ahora, después de esta ronda de inútiles reflexiones, vamos a volver a algo que realmente es importante cuando la lectura de la literatura:

Los índices se reduce y aumenta la contracción con el tensor métrico y su inversa. Así, por ejemplo, dado un tensor $A^\mu{}_\nu$, luego $$ A_\mu{}^\nu \equiv A^\alpha{}_\beta\; \eta_{\alpha\mu}\; (\eta^{-1})^{\beta\nu} $$

Para el tensor métrico en sí, tenemos $$ (\eta^{-1})^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} $$ comprobado a través de aquí y de transformación de Lorentz $$ (\Lambda^{-1})^\tau{}_\mu = \Lambda_\mu{}^\tau $$ demostrado a lo largo de aquí.

Esta es una propiedad especial de estos tensores y no tienen la arbitrarias.