$ \lim_{n \rightarrow \infty} n \left( \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(2n)^2} \right)$ como suma Riemann?

Question

Estoy tratando de evaluar el límite $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} n \ left (\ frac {1} {(n +1) ^ 2} + \ frac {1} {(n +2) ^ 2 } + \ cdots + \ frac {1} {(2n) ^ 2} \ right). $$

He intentado convertirlo en la suma de Riemann de alguna integral, pero no he podido reconocer qué debería ser la integral. ¿Cómo debo resolver este problema?

Answer 1

$$\lim_{n \rightarrow \infty} n \left(\sum_{k =1}^{n} \frac{1}{(n+k)^2}\right) =\lim_{n \rightarrow \infty} n \left(\sum_{k =1}^{n} \frac{1}{n^2(1+\dfrac kn)^2}\right) \\\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\sum_{k =1}^{n} \frac{n}{n^2(1+\dfrac kn)^2}\right)=\\\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\sum_{k =1}^{n} \frac{1}{(1+\dfrac kn)^2}\dfrac 1n\right)=\\\int_{0}^{1}\dfrac{1}{(1+x)^2}dx=\\ \int_{0}^{1}{(1+x)^{-2}}dx=\dfrac{(1+x)^{-1}}{-1} \el espacio [0,1]\\\dfrac{-1}{1+x}\espacio [0,1] =\dfrac {-1}{1+1}-( \dfrac {-1}{1+0})=\\\dfrac12$$

Answer 2

Las funciones de polygamma son geniales para resolver este tipo de problemas.

ps

$$\sum_{k=1}^N \frac{1}{(x+k)^2}=\psi^{(1)}(x+1)-\psi^{(1)}(N+x+1)$ es la función trigamma, es decir: la función polygamma [1, z].

Con y $\psi^{(1)}(z)$ :

ps

La expansión asintótica de la función trigamma es:$z=n$

ps

ps