¡El error "probablemente" se atasca!

Question

Considere la posibilidad de regular de un tetraedro con vértices $A,B,C,D$. Un fallo inicia el rastreo de $A$. El error se mueve de un vértice a otro a lo largo de los bordes de forma continua hasta que se alcanza el $D$, donde hay pegamento y, por tanto, una vez que el error llegue a $D$, se queda atascado. El error puede mover a cualquier vértice de cualquier otro vértice, con igual probabilidad. A continuación, encontrar la probabilidad de que el error llegue a $D$$B$.

Parece ser que existen diferentes respuestas a esta pregunta a diferentes personas (con $1/4$ $1/5$ siendo la más común de las respuestas). ¿Cuál puede ser la posible ecuación de estar enmarcada? Cualquier sugerencia se agradece. Gracias!!

Answer 1

Deje $p_A$ la probabilidad de que el error llegue a $D$ $B$ dado que actualmente se encuentra en $A$.

Deje $p_B$ la probabilidad de que el error llegue a $D$ $B$ dado que actualmente se encuentra en $B$.

Deje $p_C$ la probabilidad de que el error llegue a $D$ $B$ dado que actualmente se encuentra en $C$.

Queremos que el valor de $p_A$.

Si el error está en la actualidad en $A$, entonces el error:

un $\frac{1}{3}$ de probabilidades de ir a $B$, de la que hay un $p_B$ de probabilidad de llegar a $D$$B$,

un $\frac{1}{3}$ de probabilidades de ir a $C$, de la que hay un $p_C$ de probabilidad de llegar a $D$$B$,

un $\frac{1}{3}$ de probabilidades de ir a $D$, de los que se tiene ninguna posibilidad de llegar a $D$$B$.

Por lo tanto, $p_A = \frac{1}{3} \cdot p_B+\frac{1}{3} \cdot p_C+\frac{1}{3} \cdot 0$.

Por una lógica similar, usted puede obtener las ecuaciones de $p_B$$p_C$.

Esto le da a usted un sistema de 3 ecuaciones lineales de 3 variables. Resolver esto para obtener $p_A$.

Answer 2

El error se queda bloqueado en $D$ con una probabilidad de $1$. Tenga en cuenta que esto no quiere decir que no hay ninguna serie que evite $D$ -, se podrían alternar $A$ $B$ siempre, pero la probabilidad es cero. La pregunta, en realidad, se pregunta, dado que el error viajes de$A$$D$, ¿cuál es la probabilidad de que las visitas de $B$ en el camino. Como la probabilidad de que el primer paso es la $B$$1/3$, es obvio que $1/4$ $1/5$ están equivocados.

Esta es una cadena de Markov, pero es necesario distinguir todos los estados. De partida que se en $A$ y no ha visitado $B$ o $C$. Se tienen dos estados de ser en $A$ dependiendo de si usted ha visitado $B$ o no (para este problema no importa si usted ha visitado $C$), dos estados en $C$, y un estado en$B,D$, $D$ de absorción. Escriba su matriz de transición y el uso de sus técnicas habituales.

Answer 3

El uso de la simetría, se puede reducir el número de variables un poco más y se extiende para el caso de un grafo completo con $n$ vértices - el tetraedro es el caso de la $n=4$. Suponga que el error comienza desde el vértice $curr$, y que el designado final vértice es $glue(\neq curr)$. Deje $p_{v}$ $p_{other}$ las probabilidades de error de llegar a $glue$ desde el vértice $v$ y del conjunto de vértices no es igual a $curr$, respectivamente. (Tenga en cuenta que, como en la pregunta, "desde" se refiere al último vértice el error de visitas antes de llegar a $glue$.)

Ya que el error que se mueve de un vértice a otro de manera uniforme al azar, la probabilidad de que va a llegar a la $glue$$1$. Por lo tanto, $\begin{equation} p_{curr} + p_{other} = 1\end{equation}$. También, $\forall v \notin \{curr, glue\}, p_{v} = \frac{p_{other}}{n-2}$. Por último, $p_{curr} = \frac{1}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}*\frac{p_{other}}{n-2}$. La reducción de estas ecuaciones, obtenemos $p_{curr} = \frac{2}{n}, p_{other} = \frac{n-2}{n}, p_{v} \forall v \notin \{curr, glue\} = \frac{1}{n}$.