Puntuación esperada de la prueba de elección múltiple

Question

Un examen de opción múltiple tiene 100 preguntas, cada una con 5 respuestas posibles. Se otorga una nota por una respuesta correcta y se descuenta 1/4 de nota por una respuesta incorrecta. Un alumno concreto tiene la probabilidad $p_i$ de conocer la respuesta correcta a la $i$ de la pregunta, independientemente de otras preguntas.

a) Supongamos que si un alumno no conoce la respuesta correcta, la adivina al azar. Demuestre que su nota total tiene una media $\sum p_i$ y la varianza $\sum p_i (1-p_i)+\frac{(100-\sum p_i)}{4}$ .

b) Demuestre que la nota total de un alumno que se abstiene de adivinar también tiene media $\sum p_i$ pero con varianza $\sum p_i (1-p_i)$ .

b) es bastante fácil, ya que es una simple aplicación de la distribución binomial. Sin embargo, no puedo conseguir a), sobre todo porque no puedo llegar a una expresión bonita para la puntuación esperada del número de la pregunta $i$ .

Answer 1

Para la parte a $X_i$ Puntuación en la pregunta $i$ .

$P(X_i=1)=p_i+\frac{1-p_i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}p_i$

$P(X_i=-\frac{1}{4})=(1-p_i)*\frac{4}{5}=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}p_i$

Así que

$\mu=\Sigma(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}p_i-{1\over4}(\frac{4}{5}-\frac{4}{5}p_i))=\Sigma p_i$

Y

$\sigma=\Sigma((\frac{1}{5}+\frac{4}{5}p_i)(1)^2+(\frac{4}{5}-\frac{4}{5}p_i)(-\frac{1}{4})^2-p_i^2)$

$\sigma=\Sigma(1-p_i)(\frac{1}{4}+p_i)$

Que no es el resultado dado en la pregunta - ¿la pregunta es incorrecta?

Answer 2

$X_i$ Puntuación en la pregunta $i$ .
$P(X_i=1)=p_i+\frac{1-p_i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}p_i$ .
$P(X_i=-\frac{1}{4})=(1-p_i)*\frac{4}{5}=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}p_i$