Categoría de aditivo y mapa cero

Question

Deje $A$ ser una categoría de aditivo. Es decir,

1. $A$ tiene un cero de objeto,
2. $A$ ha finito de productos y co-productos, y
3. Cada Hom-set es un grupo Abelian tal que la composición de morfismos es bilineal.

Pregunta: Es el cero de morfismos siempre el aditivo de la unidad?

Desde $A$ tiene un cero de objeto, decir $0$, para cualquier par de objetos de $c$$d$, únicamente existe un morfismos $c \to d$ llama el cero de morfismos que puede ser descompuesto como $c \to 0 \to d$.

Ejemplos típicos (por ejemplo, (Ab), ($R$-Mod), (complejos de la Cadena en $R$-Mod)), el cero mapa da el aditivo de la unidad de cada uno de los Hom-set. Pero los axiomas de categorías de aditivos no parece decir que el cero mapas de dar el aditivo unidades de Hom-conjuntos.

Es posible demostrar que el cero de morfismos es el aditivo de la unidad de cada uno de los Hom-set? O hay algún categorías de aditivos tales que el cero de morfismos no es el aditivo de la unidad de algunos Hom-set? Cómo acerca de abelian categorías?

Answer 1

Sólo hay un mapa de $g : 0 \to d$. Por lo tanto, no es sólo una posibilidad para $g + g$. Por lo tanto,

$$gf + gf = (g+g)f = gf $$

para cualquier mapa de $f$ que se puede componer con $g$.

Estrictamente hablando, la composición debe ser definido como grupo abelian homomorphisms $\hom(B,C) \otimes \hom(A,B) \to \hom(A,C)$ (con propiedades adicionales), por lo que la imagen de $\hom(0,d) \otimes \hom(c,0) \to \hom(c,d)$ es automáticamente el cero mapa.

Pero como en teoría de grupos, algunos de los requisitos de ser un homomorphism seguir automáticamente a partir de los otros, y uno ve a menudo este "simplificada" de la definición de lugar.