Primer espacio contable, ccc, de Hausdorff

Question

Cómo demostrar que todo primer espacio contable, ccc, de Hausdorff tiene cardinalidad a lo sumo $2^\omega$ utilizando el teorema de Erdos-Rado?

Teorema de Erdos-Rado: Sea $\kappa$ sea un cardinal infinito. Sea $E$ sea un conjunto con $|E|>2^\kappa$ y supongamos que $[E]^2=\bigcup_{\alpha<\kappa}P_\alpha$ . Entonces existe $\alpha<\kappa$ y un subconjunto $A$ de $E$ con $|A|>\kappa$ tal que $[A]^2\subset P_\alpha$ .

Gracias por adelantado:)

Answer 1

Supongamos que $|X|>2^\omega$ . Para cada $x\in X$ dejar $\mathscr{B}(x)=\{B_n(x):n\in\omega\}$ sea una base local contable en $x$ sin pérdida de generalidad, supongamos que $B_n(x)\supseteq B_{n+1}(x)$ para cada $x\in X$ y $n\in\omega$ . Para $n\in\omega$ dejar

$$P_n=\left\{\{x,y\}\in[X]^2:n=\min\{k\in\omega:B_k(x)\cap B_k(y)=\varnothing\}\right\}\;;$$

$X$ es Hausdorff, por lo que $\bigcup_{n\in\omega}P_n=[X]^2$ . Por el teorema de Erdős-Rado hay un número incontable de $A\subseteq X$ y un $n\in\omega$ tal que $[A]^2\subseteq P_n$ . Pero entonces $\{B_n(x):x\in A\}$ es una familia incontable y disjunta de conjuntos abiertos no vacíos, lo cual es imposible.

Por cierto, esencialmente el mismo argumento muestra que si $X$ es Hausdorff, entonces

$$|X|\le 2^{c(X)\chi(X)}\;,$$

donde $c(X)$ es la celularidad y $\chi(X)$ el carácter de $X$ . (Estas funciones cardinales se definen aquí .)