Suma de recíprocos de coeficientes binomiales

Question

Estoy tratando de encontrar una solución cerrada para el siguiente binomio suma, sin éxito. Agradecería cualquier ayuda hacia una solución.

$$ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n}{k}(n-k)} $$

Quizás la siguiente forma alternativa presenta el problema en una mejor luz:

$$ \dfrac{1}{n!}\sum\limits_{k=0}^{n-1}k![(n-1)-k]! $$

ACTUALIZACIÓN:

Desde que Peter Košinár y Phira tipo y respuestas informativas, he encontrado algunas otras expresiones equivalentes:

$$ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2^k (n-k)} $$

y

$$ \dfrac{1}{2^n}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2^k}{k} $$

La primera puede ser demostrado a partir de la identidad declaró aquí.

La segunda he visto limitó a afirmar, pero no puede demostrar de mi expresión original.

Answer 1

Su suma es$$\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac1{\binom{n-1}{k}}.$ $

Una búsqueda web de coeficientes suma, recíproco y binomial presenta algunas identidades agradables para esta suma, pero no parece haber una forma cerrada.

Answer 2

La ecuación de $(8)$ a partir de esta respuestadice $$ \sum_{m=0}^nm!(n-m)!=\frac{(n+1)!}{2^n}\sum_{k=0}^n\frac{2^k}{k+1}\etiqueta{1} $$ Aplicando esto a su suma da $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n}{k}(n-k)} &=\frac1{n!}\sum_{k=0}^{n-1}k!(n-k-1)!\\ &=\frac1{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{k+1}\\ &\sim\frac2n+\frac2{n(n-1)}+\frac4{n(n-1)(n-2)}\\ &+\frac{12}{n(n-1)(n-2)(n-3)}\\ &+\frac{48}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}+O\left(\frac1{n^6}\right)\tag{2} \end{align} $$ donde se utilizó $(6)$ a continuación para obtener la expansión asintótica.

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Asintótica De Expansión

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} &\frac{(n-j+1)!}{n!}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(k+j)!}{k!}\frac{2^{-k-j}}{n-j-k+1}\\ -&\frac{(n-j+1)!}{n!}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(k+j)!}{k!}\frac{2^{-k-j}}{n-j+1}\\ =&\frac{(n-j+1)!}{n!}\sum_{k=0}^{n-m}\frac{(k+j)!}{k!}\frac{k\,2^{-k-j}}{(n-j-k+1)(n-j+1)}\\ =&\frac{(n-(j+1)+1)!}{n!}\sum_{k=0}^{n-(j+1)}\frac{(k+(j+1))!}{k!}\frac{2^{-k-(j+1)}}{n-(j+1)-k+1}\tag{3} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} (n+1)\sum_{k=0}^n\frac{2^{-k}}{n-k+1} &=\sum_{j=0}^{m-1}\frac{(n-j)!}{n!}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(k+j)!}{k!}2^{-k-j}\\ &+\frac{(n-m+1)!}{n!}\sum_{k=0}^{n-m}\frac{(k+m)!}{k!}\frac{2^{-k-m}}{n-m-k+1}\\ &=\sum_{j=0}^{m-1}\frac{2}{\binom{n}{j}}+O\left(\frac1{n^m}\right)\tag{4} \end{align} $$ desde $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\frac{(k+j)!}{k!}2^{-k-j} &=j!\sum_{k=0}^\infty\binom{k+j}{k}2^{-k-j}\\ &=j!2^{-j}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{-j-1}{k}2^{-k}\\ &=j!2^{-j}\left(1-\frac12\right)^{-j-1}\\[12pt] &=2j!\tag{5} \end{align} $$ La combinación de $(1)$ $(4)$ rendimientos $$ \sum_{m=0}^n\frac1{\binom{n}{m}}=\sum_{j=0}^{m-1}\frac{2}{\binom{n}{j}}+O\left(\frac1{n^m}\right)\tag{6} $$ La ecuación de $(6)$ puede parecer un gran círculo, pero en realidad nos dice que podemos ignorar la suma de los términos centrales de la orden del mayor plazo que se omite.

Answer 3

Estoy de acuerdo con Phira's respuesta que una forma cerrada para esta suma podría no existir. Dicho esto, basado en el experimento numérico, parece que el comportamiento asintótico de la suma es bastante simple y se puede aproximar como:

$$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\binom{n}{k}(n-k)} \sim \frac{2}{n-1} + \frac{4}{(n+1)(n-1)(n-6)}+O(n^{-6})$$

Mientras que esto puede ser algo complicado de demostrar, no es más fácil obligado que puede calculada fácilmente. Puesto que todos los términos de la secuencia son positivos, si nos tiramos algunos términos, vamos a obtener un límite inferior. En particular, tomar la primera a $T$ y por último $T$ términos para un valor fijo de $T$. El primer no-tomadas (y también el último no tomado) plazo es entonces igual a $$\frac{1}{n}\frac{1}{\binom{n-1}{T}}<\frac{1}{n}\frac{T!}{(n-T)^T}$$ y todos los términos entre son incluso más pequeñas. Desde allí se $(n-2T)$ de ellos en total, podemos obligado su suma por $$\frac{(n-2T)T!}{n(n-T)^T} < \frac{T!}{(n-T)^T}$$

El pleno de la suma puede entonces ser delimitada por: $$\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{T-1}\frac{1}{\binom{n-1}{k}} \leq \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\binom{n}{k}(n-k)} \leq \frac{2}{n}\sum_{k=0}^{T-1}\frac{1}{\binom{n-1}{k}} + \frac{T!}{(n-T)^T}$$

Por ejemplo, para $T=2$, obtenemos $$\frac{2}{n} + \frac{2}{n(n-1)}\leq \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\binom{n}{k}(n-k)} \leq \frac{2}{n} + \frac{2}{n(n-1)} + \frac{2}{(n-2)^2}$$ o, después de la simplificación, $$\frac{2}{n-1} \leq \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\binom{n}{k}(n-k)} \leq \frac{2}{n-1} + \frac{2}{(n-2)^2}$$ lo que confirma el primer coeficiente en la conjetura asintótico de la fórmula anterior.

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} &\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over {n \choose k}\pars{n - k}} =\sum_{k = 0}^{n - 1}{k!\pars{n - k - 1}! \over n!} =\sum_{k = 0}^{n - 1}{\Gamma\pars{k + 1}\Gamma\pars{n - k}! \over \Gamma\pars{n + 1}} =\sum_{k = 0}^{n - 1}{\rm B}\pars{k + 1,n - k} \end{align} donde $\ds{{\rm B}\pars{x,y} \equiv \int_{0}^{1}t^{x - 1}\pars{1 - t}^{y - 1}\,\dd t ={\Gamma\pars{x}\Gamma\pars{y} \\Gamma\pars{x + y}}}$ is the Beta Function. $\ds{\Re\pars{x},\Re\pars{y} > 0}$. $\ds{\Gamma\pars{z}}$ es la La Función Gamma.

\begin{align} &\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over {n \choose k}\pars{n - k}} =\sum_{k = 0}^{n - 1}\int_{0}^{1}t^{k}\pars{1 - t}^{n - k - 1}\,\dd t =\int_{0}^{1}\pars{1 - t}^{n - 1}\sum_{k = 0}^{n - 1}\pars{t \over 1 - t}^{k}\,\dd t \\[3mm]&=\int_{0}^{1}\pars{1 - t}^{n - 1}\, {\bracks{t/\pars{1 - t}}^{n} - 1 \over t/\pars{1 - t} - 1}\,\dd t =\int_{0}^{1}{t^{n} - \pars{1 - t}^{n} \over 2t - 1}\,\dd t \\[3mm]&=\int_{-1}^{1} {\bracks{\pars{1 + t}/2}^{n} - \bracks{\pars{1 - t}/2}^{n} \over t}\,{\dd t \over 2} ={1 \over 2^{n}}\int_{0}^{1} {\pars{1 + t}^{n} - \pars{1 - t}^{n} \over t}\,\dd t \\[3mm]&=-\,{n \over 2^{n}}\bracks{% \color{#00f}{\int_{0}^{1}\ln\pars{t}\pars{1 + t}^{n - 1}\,\dd t} + \color{#c00000}{\int_{0}^{1}\ln\pars{t}\pars{1 - t}^{n -1}\,\dd t}} \end{align}

$$ \color{#00f}{\int_{0}^{1}\ln\pars{t}\pars{1 + t}^{n - 1}\,\dd t} =\ _{4}{\rm F}_{2}\pars{1,1,1,-n;2,2;-1} $$ $\ds{_{p}{\rm F}_{q}\pars{a_{1},\ldots,a_{p};b_{1},\ldots,b_{q},z}}$ es la Función Hipergeométrica Generalizada. $$ \color{#c00000}{\int_{0}^{1}\ln\pars{t}\pars{1 - t}^{n -1}\,\dd t} =-\,{H_{n} \over n} $$ $\ds{H_{n}}$ es la $n$-ésimo Número Armónico.

$$\color{#00f}{\large% \sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over {n \elegir k}\pars{n - k}} ={1 \over 2^{n}}\bracks{H_{n} n\ _{4}{\rm F}_{2}\pars{1,1,1,-n;2,2;-1}}} $$