Número de fibras en una curva

Question

Corrige una curva proyectiva compleja no singular$C$. Me gustaría saber cuántas superficies proyectivas complejas no singulares$S$ tienen las siguientes propiedades (hasta isomorfismo):

1. Hay una fibra$S\longrightarrow C$.
2. Todas las fibras tienen género$g=0$.

¿Finitamente muchas superficies? ¿Contable muchas o ucontable muchas superficies?

Edición: supongamos también que la fibración es relativamente mínima.

Muchas gracias

Answer 1

Su pregunta se refiere a la clase de superficies regladas sobre una suave conectado curva de $C$.

1. Cada superficie reglada es isomorfo a la proyectiva bundle $\mathbb P(V) \longrightarrow C$ de un vector paquete en la $C$ de rango = 2.

2. Por lo tanto, la clasificación de las superficies regladas se reduce a la clasificación de vector de paquetes en $C$ de rango = 2. Aparentemente $\mathbb P(V) \cong \mathbb P(V \otimes \mathscr O_C)$.

3. Una encuesta de la teoría de módulos de espacios para la semi-estable vector de paquetes en $C$ se encuentra en

http://www.math.harvard.edu/~chaoli/doc/StableVectorBundles.html