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Una propiedad topológica de formas como $ \bot $ en $ \Bbb {R}^2$

Deje que $X$ ser una forma como $ \bot $ como un subespacio de $ \Bbb {R}^2$ . ¿Es posible construir una función continua $f : X \times X \longrightarrow X$ de tal manera que para cualquier $v,w \in X$ , $f(v,w) = f(w,v) \in \{v,w\}$ ?

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richard Puntos 1

Parece lo siguiente.

Para simplificar, usaremos la siguiente descripción. Considere tres segmentos $[0,1] \times\ {1\}$ , $[0,1] \times\ {2\}$ y $[0,1] \times\ {3\}$ . Identificamos los puntos $(0,1)$ , $(0,2)$ y $(0,3)$ hasta un punto $0^*$ y denotan el espacio obtenido como $X$ . Ponga $X_i=(0,1] \times\ {i\}$ para cada $i$ . Afirmamos que no hay una función continua $f$ satisfaciendo las condiciones de la pregunta. De hecho, suponga lo contrario. Dejemos que $i,j$ ser números enteros arbitrarios no iguales de $1$ a $3$ . Ya que el espacio $X_i \times X_j$ está conectado, $f(X_i \times X_j) \subset X_i \cup X_j$ y el espacio $X_i \cup X_j$ es una unión desarticulada de sus subespacios clopen (que está cerrado y abierto) $X_i$ y $X_j$ vemos que existe un número $k \in\ {i,j\}$ de tal manera que $f(X_i \times X_j) \subset X_k$ . Deje que $\{i,j\} \setminus \{k\}=\{l\}$ . Por lo tanto, para todos $0<x,y<1$ tenemos $f((x,k),(y,l))=(x,k)$ . La continuidad de la función $f$ implica que $f((x,k),0^*)=(x,k)$ y $f(0^*,(y,l))=0^*$ . Considere ahora una función $g:X \to X$ definido como $g(x)=f(x,0^*)$ . Luego $g|X_k= \operatorname {id}$ y $g|X_l \equiv 0^*$ . Deje que $\{1,2,3\} \setminus \{k\}=\{i’,j’\}$ . De manera similar a lo anterior podemos mostrar que existe un número $k’ \in\ {i',j'\}$ de tal manera que $g|X_{k’}= \operatorname {id}$ . De nuevo, de forma similar a lo anterior, podemos mostrar que existe un número $k’’ \in\ {k,k’\}$ de tal manera que $g|X_{k''} \equiv 0^*$ una contradicción, porque $g|X_k= \operatorname {id}$ y $g|X_{k'}= \operatorname {id}$ .

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