Estoy tratando de integrar $$\iint e^{\frac{x}{x+y}}\,dx\,dy$$ donde $y \leq (1-x)$ y $0 \leq x,y \leq 1$ .
He intentado definir nuevas variables como $u=x$ y $v=x+y$ pero tampoco puedo resolver esto. Me he dado cuenta de que $\int e^{\frac{1}{x}}dx$ no es una función elemental. así que realmente me confunde..
Su intuición es correcta y será el punto de partida de nuestros cálculos. Su integral es $\int \limits _0 ^1 \Bbb d x \int \limits _0 ^{1-x} \Bbb d y \space \Bbb e ^{\frac x {x+y}}$ . Hacer el cambio de variable $v = x+y$ en la integral interna, obteniendo $\int \limits _0 ^1 \Bbb d x \int \limits _x ^1 \Bbb d v \space \Bbb e ^{\frac x v}$ y así desacoplar el denominador del numerador (antes estaban acoplados por tener un $x$ en común). Como usted ha señalado, es imposible calcular la integral interna, por lo tanto, cambiar el orden de integración: $\int \limits _0 ^1 \Bbb d v \int \limits _0 ^v \Bbb d x \space \Bbb e ^{\frac x v} = \int \limits _0 ^1 \Bbb d v \space v (\Bbb e - 1) = \frac {\Bbb e -1} 2$ .
Gracias. pero hay algo que aún no me cuadra... ¿cómo se convirtieron los (1,0) y (1,x) en (1,0) y (v,0)?
@d_e: Lee los puntos finales antes de conmutar las integrales: te dicen que $0 \le x \le v \le 1$ . Ahora, usted quiere poner $v$ primero y $x$ segundo, así que relee esta desigualdad: $v$ vive entre $0$ y $1$ (necesita puntos finales fijos para la integral exterior) y luego $x$ se deja vivir entre $0$ y $v$ .
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