demostrar que la secuencia infinita diverge como una serie armónica

Question

Necesitaba demostrar que la siguiente suma diverge

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(1+\ldots+\frac{1}{n-1})}$$

Answer 1

El $(n-1)^\text{th}$ Número armónico está acotado como sigue, para cualquier $n > 1$ :

$$H_{n-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \,\,\leq\,\, 1 + \ln (n-1)$$

Dejemos que $$a_n = \frac{1}{n\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n-1}\right)}$$

Entonces, para todos los $n > 1$ , $$a_n = \frac{1}{nH_{n-1}} \,\, \geq \,\,\frac{1}{n + n\ln(n-1)}$$

Dejemos que $S = \sum a_n$ sea su serie. El límite anterior para $a_n$ implica que

$$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty a_n = S \,\, \geq \,\, \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n + n \ln(n-1)}$$

Utilizando Condensación de Cauchy encontramos que esta serie diverge)+from+x%3D2+to+infinity) lo que implica que $S$ también debe divergir.

Answer 2

para $n\geq 2$ , $$1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n-1}<1+\int_{1}^{n-1} \frac{1}{x}dx=1+\ln (n-1)$$

Entonces obtenemos $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(1+\ldots+\frac{1}{n-1})}>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+n\ln(n-1)}$$

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+n\ln(n-1)}>\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x+x\ln(x-1)}dx \space\text{which diverges to infinity.}$$

Answer 3

Nótese que la serie armónica diverge a razón de ln(x). Por lo tanto, la suma es similar a la suma $\sum n=\frac{1}{n\ln n}$ . Utilizando la sustitución en u $u=\ln(n)$ se puede demostrar que la suma diverge a un ritmo aproximadamente igual a $\ln(\ln(n))$ .