cualquier $2$-dimensional representante de un grupo simple finito, no abelianos es trivial

Question

Que $G$ ser un grupo simple finito, no abeliano. ¿Cómo haría demostrando que cualquier $2$-representación tridimensional de $G$ es trivial? Si ayuda, yo sé cómo hacerlo cuando estamos considerando $1$-representaciones tridimensionales.

Answer 1

Bien, vamos a tener que usar algunas artillería pesada para empezar, pero no puedo pensar en otra manera de comenzar.

Supongamos $\rho: G\to \text{GL}_{2} (\mathbb{C})$ es trivial. Observar que, desde $G$ es simple y la representación es trivial, debemos tener $\text{ker} \, \rho =\text{ker}\, \chi = (e)$ (donde $\chi$ es el carácter de esta representación). El Feit-Thompson Teorema (!!!) nos dice $|G|$ es incluso. Por Cauchy Teorema de, $G$ debe tener un elemento $x$ orden $2$.

Ahora, definir $$\hat{\rho}: G \to \text{GL}_{1} (\mathbb{C}) \cong \mathbb{C}$$ by $\hat{\rho}(g) = \text{det} (\rho(g))$. Evidently, $\hat{\rho}$ is a homomorphism, hence it gives a degree 1 representation of $G$. We know this representation must be trivial. In other words, $\text{det} (\rho(g)) = 1$ for all $g\in G$. That said, we also know that $\rho(x)^2 = \text{Id}$. The set of eigenvalues of $\rho(x)$ is either $\{1, 1\}$, $\{1,-1\}$, or $\{-1,-1\}$. The first possibility is out of the question, since $\texto{ker} \chi = (e)$. The second possibility cannot occur, since then $\text{det} (\rho(x)) = -1$. Thus, the eigenvalues of $\rho(x)$ are $\{-1, -1\}$. The characteristic polynomial of $\rho(x)$ is $(X+1)^2$, and $\rho(x)$ also satisfies $X^2 - 1$. Since the minimal polynomial of $\rho(x)$ must divide both of these, it follows $\rho(x)$ satisfies $X+1$, i.e. $\rho(x) = -\text{Id}$.

Por último, desde la $\rho(x)$ es un escalar múltiples de la identidad, se conmuta con cualquier matriz. En particular, para cualquier $g\in G$, tenemos $$\rho(g) \rho(x) = \rho(x) \rho(g) \implies \rho(gxg^{-1} x^{-1}) = \text{Id}$$ Triviality of $\texto{ker} \, \rho$ implies $gxg^{-1} x^{-1} = e$ for all $g\in G$, hence $x\Z(G)$. Accordingly, $Z(G)$ is a nontrivial normal subgroup of $G$, so it must equal $G$. But $G$ es no-abelian por supuesto.

Answer 2

Con mucho menos de la maquinaria:

Dicha representación debe aterrizar en $SL_2(\mathbb C)$, y finito subgrupos de $SL_2(\mathbb C)$ son completamente clasificado (ellos son cíclicos, diedro, tetraédrica, octaédrica o isocahedral). Ninguno de estos grupos son simples, a menos cíclico de primer orden.

Uno puede demostrar que esta clasificación por dejar a un subgrupo finito $G$ $SL_2(\mathbb C)$ actúan sobre la esfera de Riemann $\mathbb P^1$. Uno puede comparar a la de Riemann-Hurwitz fórmula para el morfismos $\mathbb P^1 \to \mathbb P^1/G$ a la clase de la ecuación de $G$ a deducir de los límites de los términos individuales que aparecen en la clase de ecuación, por lo tanto el estrechamiento de los posibles grupos.

Answer 3

Se trata de ejercicio 3.3 en Teoría de grupos finitos de carácter por Isaacs. Fácilmente se deduce de los siguientes hechos:

• Porque es perfecto $G$, $\chi$ tiene imagen en $SL(2,\mathbb{C})$;
• Porque $\chi$ es irreducible, divide a $\chi(1)$ $|G|$;
• El único elemento de orden $2$ $SL(2,\mathbb{C})$ es $-I$ (que es central).