Deje$x,y,z>0$ y$x+y+z=1$, luego encuentre el valor mínimo de${{x}\over {2-x}}+{{y}\over {2-y}}+{{z}\over {2-z}}$

Question

Permita que$x,y,z>0$ y$x+y+z=1$, luego encuentre el valor mínimo de$${{x}\over {2-x}}+{{y}\over {2-y}}+{{z}\over {2-z}}$ $

Intenté varias formas de reorganizar y usar la desigualdad AM> GM. Pero no pude conseguirlo. No soy bueno en las desigualdades. Por favor, ayúdame.

Escribí$x$ como$1-(y+z)$ y tomé$x+y$ como$a$ y los demás como$b$ y$c$. Y lo estoy intentando.

Answer 1

Aquí usamos la desigualdad AM-HM (media armónica). \begin{align*} {{x}\over {2-x}}+{{y}\over {2-y}}+{{z}\over {2-z}} &=-3+2\left(\frac{1}{2-x}+\frac{1}{2-y}+\frac{1}{2-z}\right)\\ &\geq -3+2\left[\frac{3^2}{(2-x)+(2-y)+(2-z)}\right]\\ &=-3+\frac{18}{5}=\frac{3}{5}. \end {align *} Además, cuando$x=y=z=\frac{1}{3}$, se cumple la igualdad anterior. Por lo tanto, el valor mínimo es$\frac{3}{5}$.

Answer 2

Por el bien de las alternativas:

Es fácil comprobar que$$\frac{x}{2-x} \ge \frac{18x-1}{25} \quad\forall x < 2,$$ (equivalent to $ (3x-1) ^ 2 \ ge 0$). Applying the above inequality for $ y$ and $ z $ también, y luego tomar la suma de las tres desigualdades, hemos terminado.

Answer 3

También puede usar Cauchy-Schwarz:$$\left(x(2-x)+y(2-y)+z(2-z)\right)\left(\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}+\frac{z}{2-z}\right)\ge (x+y+z)^2=1.$ $ Además, $$ \begin{aligned}x(2-x)+y(2-y)+z(2-z) &= 2(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)\\ &\le 2-\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac53. \end {aligned} $$ Por lo tanto, el mínimo es$3/5$ alcanzado en$x=y=z=1/3$.

Answer 4

Mike Yu la respuesta es excelente. Por el bien de alternativas, presento una solución utilizando el método de los Multiplicadores de Lagrange. Debido a la simetría en las formas de ambas funciones, que de manera intuitiva se puede ver la solución.

La función de $h(x)=\frac{x}{2-x}$ disminuye (de un límite, de polo a) el infinito positivo a $0$ en el intervalo de $x\in(0,2]$. En este intervalo, el mayor $x$, el menor $h(x)$ ($h$ es estrictamente decreciente). Cada una de las $x,y,z$ necesita ser grande para minimizar la suma. Por simetría, la solución debe ser cuando cada variable es igual a: $x=y=z=\tfrac13$, por lo que la suma es $3h(\tfrac13)=\tfrac35$.

Pero para justificar esta simetría argumento, se podría necesitar el uso de Multiplicadores de Lagrange. Tomando el gradiente (derivada direccional) del objetivo y la restricción de las funciones de $$ \begin{align} f(x,y,z)&={x\over2-x}+{y\over2-y}+{z\over2-z}\\ g(x,y,z)&=x+y+z-1 \end{align} $$ obtenemos el vector de funciones con valores de $\nabla f=(f_x,f_y,f_z)=\left({\partial f\over\partial x},{\partial f\over\partial y},{\partial f\over\partial z}\right)$ (y lo mismo para $g$): $$ \begin{align} \nabla f(x,y,z)&=\left( {3-x\over(2-x)^2},{3-y\over(2-y)^2},{3-z\over(2-z)^2} \right)\\ \nabla g(x,y,z)&=(1,1,1). \end{align} $$ Establecimiento $\nabla f=\lambda \nabla g$ (a afirmar que más allá de la superficie de la tangente a los planos son paralelos, o sus líneas normales son paralelos, en cualquier extremos locales de $f$), nos encontramos con que $${3-x\over(2-x)^2}={3-y\over(2-y)^2}={3-z\over(2-z)^2}=\lambda.$$ En este punto, nos gustaría ser capaces de finalizar $x=y=z$. Mi argumento va a utilizar el hecho de que, aunque estos son cuadráticas en $x,y,z$, su solución es única en el dominio de interés. Si sustituimos $t={1\over2-x}$ o $x=2-\frac1t$, nos encontramos con $$\lambda={3-x\over(2-x)^2}=\frac1{2-x}+\frac1{(2-x)^2}=t+t^2$$ o $$t^2+t-\lambda=0\qquad\text{for}\quad t=\frac1{2-x}.$$ Esta es una ecuación cuadrática con la solución $$t=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\lambda}}2.$$ Claramente $x,y,z\in(0,1)$ $t\in(\frac12,1)$ tiene solución única $$t=\frac{-1+\sqrt{1+4\lambda}}2,$$ y por lo tanto $$x=y=z=2-\frac1t=2-\frac{1+\sqrt{1+4\lambda}}{2\lambda}.$$ Pero ahora la restricción nos da $x=y=z=\frac13$ (e $t=\frac35,\lambda=\frac{24}{25}$). Podemos ver que $f(\frac13,\frac13,\frac13)=\frac35$ es el mínimo global para $x,y,z\ge0$ porque $f(1,0,0)=1$ es mayor.

También podemos verificar el mínimo global por tomar la segunda derivados. Tenga en cuenta que $f_{xx}={4-x\over(2-x)^3}>0$ $x\in(0,2)$ y de manera similar para $f_{yy},f_{zz}$, mientras que la mezcla de los parciales $f_{xy}=f_{yz}=f_{xz}=0$. La Arpillera es por lo tanto una matriz diagonal con un resultado positivo de entradas para $x,y,z\in(0,1)$, y por lo tanto es positiva definida , de modo que, mediante la segunda derivada de la prueba, cualquier local del extremo será de un mínimo global.

Answer 5

Usando la desigualdad AM-GM (para$n=6$): Let$f(x,y,z)=\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}+\frac{z}{2-z}$. Tome$x_1=\alpha(2-x), x_2=\alpha(2-y), x_3=\alpha(2-z), x_4=\frac{2}{(2-x)}, x_6=\frac{2}{(2-y)}+\frac{2}{(2-z)}$, donde$\alpha=\frac{18}{25}$. Luego, por la desigualdad AM-GM$\frac{1}{6}\left(5\alpha+\frac{2}{(2-x)}+\frac{2}{(2-y)}+\frac{2}{(2-y)}\right)=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}\geq \sqrt[6]{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6}=\sqrt{2\alpha}=\frac{6}{5}$, que da$\frac{2}{(2-x)}+\frac{2}{(2-y)}+\frac{2}{(2-y)}\geq \frac{36}{5}-5\frac{18}{25}=\frac{18}{5}$. Asi que,

$f(x,y,z)=-3+\frac{2}{(2-x)}+\frac{2}{(2-y)}+\frac{2}{(2-y)}\geq -3+\frac{18}{5}=\frac{3}{5}=-3+6\sqrt[6]{x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6}$, donde$x_1=x_2=\ldots=x_6$, que sucede cuando$x=y=z$, desde$\alpha\neq 0$, y$\frac{2}{2-x}=\alpha(2-x)$ o$x=\frac{1}{3}$, ya que$x>0$.

Por lo tanto, el valor mínimo de$f$ es$\frac{3}{5}$.