Número de permutaciones tales que$a-b+c-d+e-f+g-h=0$

Question

Se forman todas las permutaciones posibles$\left\{a,b,c,d,e,f,g,h\right\}$ del conjunto$A=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$. ¿Cuántas de esas permutaciones satisfacen?

ps

Mi intento:

tenemos, por ejemplo

$$a-b+c-d+e-f+g-h=0$$$(2-1)+(4-3)+(5-6)+(8-7)=0$ 4! = 24 $ ways.Now en todas estas posibles permutaciones si multiplicamos con signo negativo obtenemos una permutación diferente.

Tan total es$ and each of the number in brackets if we treat them as four letters, they can be arranged in $.

del mismo modo para$48$$$(2-3)+(4-1)+(5-6)+(8-7)=0$ 48 $ permutations.

pero siento que este es un enfoque informal. ¿Alguna pista para un mejor acercamiento?

Answer 1

La primera cosa a notar es que la suma de todos los números de $1$ a través de$8$$36$, por lo que los números que se agregan deben sumar a $18$, así como los números que se restan. Tenemos que encontrar el número de maneras de dividir los números en dos grupos de cuatro, de tal manera que cada conjunto se suma a $18$. El $8$ tiene que ir en un conjunto, por lo que buscamos maneras de tener tres números suma a $10$. Son $721,631,541,532$ hay $4$ particiones del conjunto. Para cada partición tenemos dos formas de elegir qué conjunto se añade, $4!$ formas de elegir el orden de los agregados conjunto, y $4!$ maneras de elegir el orden de la resta conjunto. Esto da un total de $4\cdot 2 \cdot 4! \cdot 4!=4608$

Answer 2

Ross Millikan respuesta es ingeniosa, pero no escala a grandes instancias. Así que vamos a reorganizar:

$$a+c+e+g=b+d+f+h$$

Desde $1 + 2 + \cdots + 8 = 36$ sabemos ambos lados debe ser igual a $18$. Vamos a resolver un lado primero:

$$a+c+e+g=18$$

¿Cuántas soluciones hay para esto? Bueno, estamos buscando el número de distintas particiones de $18$ $4$ partes, cada parte se limita a $[1, 8]$. Generalizando, el número de distintas particiones de $n$ $k$ partes, cada parte se limita a $[1, R]$$p(n, k, R)$. El libro generatingfunctionology fórmula 3.16.4 nos dice

$$\sum_{n,k} p(n,k,R)x^ny^k = \prod_{r=1}^R\left(\sum_{k = 0}^1 y^kx^{kr}\right) = \prod_{r=1}^R\left( 1 + yx^{r}\right)$$

Así que nos fijamos para el coeficiente de $x^{18}y^4$$\prod_{r=1}^8\left( 1 + yx^{r}\right)$, dando $8$.

Tenga en cuenta que el lado izquierdo determina el lado derecho. Así que sólo tenemos que permutar los ambos lados, dando a $8 \cdot 4! \cdot 4! = 4608.$

Supongamos que en lugar tuvimos $16$ variables, con rango de $\{1, \dots, 52\}$. La suma es $1326 / 2 = 663$. Esto significaría que la respuesta es $$8!^2 \cdot[x^{663}y^8]\prod_{r=1}^{52} ( 1 + yx^{r})$$

Answer 3

El total de los números es$36$. Dividido por $2 = 18$.

Por lo tanto, es posible que haya dividido los números en los siguientes grupos$= ({1,3,6,8}$ y${2,4,5,7})$ o (${1,4,6,7}$ y${2,3,5,8}$) o (${1,4,5,8}$ y${2,3,6,7})$.

Cada grupo puede ser permutado en$4!$ formas tales que$a-b+c-d+e-f+g-h=0$ es verdadero y cada par podría intercambiarse para sumar resta de anuncio y así hay tres pares y por lo tanto 8 para dar un total de$ 8\times24\times24 = 4608$