Da un ejemplo de un conjunto que tiene$\{0,1,1/2,1/3,...\}$ como puntos de acumulación.

Question

Da un ejemplo de un conjunto que tiene$\{0,1,1/2,1/3,...\}$ como puntos de acumulación. Creo que puedo tomar secuencias que convergen a cada uno de los límites, así que, en particular, podría tomar$x_{n1}=(1/n),x_{n2}=1-1/n,x_{n3}=1/2-1/n$ y en general$x_{nk}=1/(k-1)-1/n.$. El conjunto$\{\{x_{nk}\}|k=1,2,3...\}$ me daría el conjunto deseado de puntos de acumulación. ¿Esto funciona?

Answer 1

Vamos a considerar un bijective mapa $\varphi:\mathbb{N}^+\to \mathbb{N}^+\times\mathbb{N}^+$, $\varphi(n)=\left(\varphi_1(n),\varphi_2(n)\right)$ y definir la secuencia de $\{a_n\}_{n\geq 1}$ a través de $$ a_n = [0;\varphi_1(n),\varphi_2(n)] = \frac{1}{\varphi_1(n)+\frac{1}{\varphi_2(n)}}.$$ Es bastante claro que la continuación de las fracciones de la forma $[0;1,\text{whatever}]$ se acumulan hacia la $[0;1]=1$, la continuidad de las fracciones de la forma $[0;2,\text{whatever}]$ se acumulan hacia la $[0;2]=\frac{1}{2}$ y así sucesivamente. El cero también es un punto de acumulación para la continuación de las fracciones de la forma $[0;m,m]$.

La estructura de la ordinaria fracciones continuas permite afirmar que $0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots$ son sólo la acumulación de los puntos de nuestra secuencia. Su construcción no permitir la entrada inmediata al estado de la misma.

---

Esta debe ser conocida, si es que no, en su caso, usted puede probar es como una interesante sub-ejercicio.
Podemos tomar la $\varphi$ $$ \varphi(n)=\left(\left\lfloor\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor,n-\frac{1}{2}\left\lfloor\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor\left(\left\lfloor\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right\rfloor-1\right)\right). $$

Answer 2

Deje$$\{\frac{1}{n}|n \in \Bbb{N}\}\cup \{0\}=A$ $

Toma el conjunto$$A+A=\{x_1+x_2|x_1,x_2 \in A\}$ $

Answer 3

Otro ejemplo natural interesante:

Dejar $A_m=\left\{ \frac{1}{m} -\frac{1}{n}\cdot(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}) \right\}_{n\ge2}$

Observe que$\frac{1}{n}\cdot[\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}]$ siempre es menor que$\frac{1}{2} \cdot[\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}]$, que es la mitad de la distancia entre$\frac{1}{m}$ y$\frac{1}{m+1}$.

Ahora$A= \cup_{m=1}^{\infty} A_m$ es el conjunto deseado.