El límite de una suma:$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^3}\right)$

Question

Evalúe el siguiente límite: $$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ left (\ frac {k} {n ^ 2} - \ frac {k ^ 2} {n ^ 3} \ right) $$

Nunca tomé el límite de la suma ... ¿Por dónde empiezo?

¿Comienzo a tomar la suma?

Answer 1

Con las sumas de Riemann:

Tenemos $$ \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^3}\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}-\left(\frac{k}{n}\right)^2\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right) $$ que es una suma de Riemann para $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ definido por $f(x)=x(1-x)$. Por lo tanto, tenemos $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^3}\right) = \int_0^1 f(x)dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]^1_0 =\boxed{ \frac{1}{6}}\,. $$

Sin sumas de Riemann:

Aquí, usted puede usar directamente los hechos que $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ para calcular la suma, y la conclusión a posteriori. $$ \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^3}\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k-\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)}{2n^2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \boxed{\frac{1}{6}}\,. $$

Answer 2

Enfoque adicional : por convoluciones. Al definir, para cualquier$n\in\mathbb{N}$,$$ a_n = \sum_{k=0}^{n}k(n-k) $ $, tenemos que$a_n$ es el coeficiente de$x^n$ en$\left(0+1x+2x^2+3x^3+\ldots\right)^2$, es decir,$$ a_n = [x^n]\left(\frac{x}{(1-x)^2}\right)^2 = [x^{n-2}]\frac{1}{(1-x)^4}\stackrel{\text{stars and bars}}{=}[x^{n-2}]\sum_{k\geq 0}\binom{k+3}{3}x^k $ $ so$a_n = \binom{n+1}{3}$ y$$ \lim_{n\to +\infty}\frac{a_n}{n^3} = \frac{1}{3!}=\color{red}{\frac{1}{6}}.$ $

Answer 3

Como las sumas de Riemann parecen ser el truco, veamos $ d (u) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {k ^ u} {n ^ {u +1}} $ donde$u \ge 0$.

Haciendo lo que se hizo antes,

$ \begin{array}\\ d(u) &=\lim_{n\to \infty} \dfrac1{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{k^u}{n^{u}}\\ &=\lim_{n\to \infty} \dfrac1{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^u\\ &=\int_0^1 x^u dx\\ &=\dfrac1{u+1}\\ \end {array} $

Por lo tanto, si $ d (u, v) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ left (\ frac {k ^ u} {n ^ {u +1}} - \ frac {k ^ v} {n ^ {v +1}} \ right) $, $ d (u, v) = \ dfrac1 {u +1} - \ dfrac1 {v +1} $.

Si$u=1, v=2$, esto da $ d (1, 2) = \ dfrac12- \ dfrac13 = \ dfrac16 $.