$S$ un subring de $R$ tiene la propiedad de que si $x,y \in S$ , $y \not= 0$ y $xz = y$ en $R$ entonces $z \in S$

Question

Me cuesta recordar si la propiedad descrita en el título tiene un nombre real.

Dicho de manera informal, si un elemento de $S \subset R$ factores de forma parcial en $S$ entonces esa factorización es realmente válida en $S$ .

Por ejemplo, los enteros incrustados en los racionales no poseen esta propiedad, pero los enteros incrustados en $\mathbb{Z}[\sqrt 5])$ (o muchas otras extensiones algebraicas de los enteros), a pesar de que muchos enteros tienen factorizaciones que se encuentran completamente en $\mathbb{Z}[\sqrt 5 ]) \setminus \mathbb{Z}$ .

Para ilustrarlo mejor, un ejemplo algo menos trivial y bastante artificial de un anillo con esta propiedad es el siguiente:

Dejemos que $R$ sea un dominio GCD, y consideremos el anillo de polinomios sobre $R$ Llamémoslo $R_{gcd}[X]$ en la que la multiplicación es la multiplicación polinómica normal y la suma se define en la base monomial como $aX^i + bX^i \rightarrow \gcd(a,b)X^i$ . Fijar un $r \in R$ no una unidad. El lema de Gauss viene a demostrar que los polinomios cuyo contenido tiene una factorización como potencia pura de $r$ forman un subring de $R_{gcd}[X]$ y además este subring se ve fácilmente que tiene la propiedad descrita anteriormente. Además, si $R$ no es un UFD (por ejemplo, los enteros algebraicos), entonces para algunas elecciones de $r$ existirán factorizaciones de los polinomios en el subring completamente en términos de polinomios que no están en el subring.

Answer 1

He encontrado este documento que llama a un subring $S$ de $R$ que tiene la propiedad anterior autofactorialmente cerrado y ofrece un análisis de las condiciones e implicaciones equivalentes. La noción más fuerte de $xy \in S \implies x,y \in S$ se llama allí cerrado factorialmente . Nótese que la nomenclatura análoga para los subconjuntos multiplicativos de un anillo se conoce más universalmente como saturación .

Si $S$ es autofactorialmente cerrado en $R$ con $T(S)$ el campo de las fracciones de $S$ entonces tenemos la identidad $$S = T(S) \cap R$$ podemos en algunos casos ser útiles para ver que las propiedades de $R$ (por ejemplo, el cierre integral) son heredados por $S$ .

Answer 2

Nunca he oído hablar de ello.

Y si permite $x=0$ , entonces los racionales no tienen esta relación con los reales, ni ninguna extensión de anillo propia.

Si se limita a $x\neq 0$ , entonces obviamente cualquier extensión de campo tiene esta propiedad.