Reescribir incorrectamente un producto infinito para$\pi$

Question

Estoy escribiendo un programa para calcular aproximaciones al$\pi$ de (una ligera reformulación de) la fórmula de John Wallis:$\frac{\pi}{4} = \frac{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}$ y he hecho lo siguiente:$$\pi = 4\cdot\frac{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}$ $$$\pi = 8\cdot\frac{4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdots}$ $$$\pi = 8\cdot\left(\frac{4^2}{3^2}\right)\left(\frac{6^2}{5^2}\right)\left(\frac{8^2}{7^2}\right)\cdots$ $$$\pi=8\cdot\prod_{i=2}^{\infty}\left(\frac{2i}{2i-1}\right)^2$ $

He hecho lo que creo que es una transformación correcta y simple de los productos originales. Sin embargo, el producto diverge, y esta reformulación es incorrecta. ¿Por qué?

Answer 1

Tenga en cuenta que el límite de una infinita producto puede ser definido a través de una infinita suma:

$$\prod_{i=1}^\infty a_i:=\exp \sum_{i=1}^\infty \log a_i.$$ Y lo que están haciendo en su primer paso es la reorganización de la suma en cuestión: la transformación

$$\frac{\color{red}2}{\color{blue}3}\cdot\frac{\color{purple}4}{\color{green}3}\cdots \quad\to\quad \color{red}2\cdot\frac {\color{purple}4}{\color{blue}3}\cdot\frac 4{\color{green}3} \cdots$$

es equivalente a la reorganización

$$\color{red}{\log 2}-\color{blue}{\log 3}+\color{purple}{\log 4}-\color{green}{\log 3}+\cdots\quad\to\quad \color{red}{\log 2}+\color{purple}{\log 4}-\color{blue}{\log 3}+\log 4-\color{green}{\log 3}+\cdots.$$

Pero reordenación de las infinitas sumas de dinero no es siempre permitido y se puede cambiar el límite arbitrariamente (o incluso hacer que se divergen) que se explica en esta pregunta. Esto se conoce como Riemann, de reordenación del teorema. No es difícil ver que su correspondiente suma no es absolutamente convergente, por lo tanto el teorema se aplica.

Answer 2

La elaboración de @M. Invierno's respuesta, podemos mirar a la convergencia de la serie $\sum_{i=1}^{+\infty}\ln(a_i)$. La siguiente figura muestra las sumas parciales: $$\begin{aligned}&\ln(2)-\ln(3)+\ln(4)-\ln(3)+\ldots \\ &\ldots+\ln(2n)-\ln(2n+1)+\ln(2n+2)-\ln(2n+1) \end{aligned}$$ Claramente, esta curva ha $2$ secciones principales: una curva superior y una inferior de la curva. La curva superior se forma de las sumas parciales con un número impar de términos, mientras que la parte inferior de la curva tiene un número par de términos.

Es posible que la curva inferior a converger, ya que $\ln(2n)\sim\ln(2n+1)\sim\ln(2n+2)$. Por lo tanto, $\ln(2n)-\ln(2n+1)\sim0$$\ln(2n+2)-\ln(2n+1)\sim0$. El par y el impar par de términos, con la suma de ellos se aproxima $0$. Es necesario para una serie de términos y condiciones para acercarse a $0$ para la serie es convergente. La línea azul punteada en la figura se muestra $y=\ln(\pi/4)\approx-0.24$.

Sin embargo, la curva superior no puede ser convergente debido a $\ln(2n),\ln(2n+1),\ln(2n+2)$ todos $+\infty$. Por lo tanto, las sumas parciales han arbitrariamente un gran último término. El divergentes superior de la curva parece ser asintótica $\ln(2n)-1.627\,858$ (que a su vez es $\sim\ln(n)$). La suma parcial de la primera $10^8+1$ condiciones es$17.485\,969\,138\,141\,7$, que es aproximadamente el $\ln[2\cdot(10^8+1)]-1.627\,858$.

En esencia, el límite inferior de la secuencia de sumas parciales existe, pero el límite superior no. Esto explica por qué la serie no necesariamente convergen si sus términos están ordenados. De hecho, es equivalente al hecho de que un reordenamiento del producto original podría darle términos mayor que $1$.

La figura se ha generado en GeoGebra con los códigos:

n=slider[1,500]
list1=Sequence[{(4j - 3, ln(2j)), (4j - 2, -ln(2j + 1)), (4j - 1, ln(2 (j + 1))), (4j, -ln(2j + 1))}, j, 1, n]
list2=Join[Sequence[Element[list1, i], i, 1, n]]
list3=Sequence[(i, Sum[Sequence[y(Element[list2, j]), j, 1, i]]), i, 1, n]

Answer 3

Como M. Winter dijo, usted tiene un problema con la reorganización de infinito productos. La versión original de la Wallis producto es:

$\prod \frac{4n^2}{4n^2-1}$

Este producto converge iff

$\sum\log\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)$

converge. En su formulación, que busca en el producto

$\prod \frac{4n^2}{(2n-1)^2}$

que converge iff

$\sum\log\left(\frac{4n^2}{(2n-1)^2}\right)$

converge.

Si usted llega wolfram creo que usted encontrará que la primera suma converge mientras que el segundo no.

Esto es cómo usted puede saber si su reordenamiento está causando problemas.