¿Es una línea infinita lo mismo que un círculo infinito?

Question

Imagina que estás sentado junto a una línea que se extiende infinitamente en ambas direcciones. ¿Es posible distinguirla de un círculo infinito?

Por mi pobre entendimiento de la topología, supondría que marca la diferencia si es una línea o un círculo: El segundo está cerrado, el primero no lo está.

Lo que ambos hacen a un plano es dividirlo en dos partes, izquierda y derecha o adentro y afuera. Pero, ¿es suficiente decir que son claramente la misma cosa?

EDICIÓN

$\lim_{R\to \infty}$

$\hskip1in$

Answer 1

Desde un punto de vista "visual" no riguroso, no podrías decir la diferencia, al igual que cuando miras hacia abajo a tus pies no puedes ver que la tierra es una esfera. La forma rigurosa de decir esto matemáticamente es que un círculo y una línea son "localmente homeomórficos".

Dos conjuntos son homeomórficos si hay una biyección continua entre ellos, con una inversa continua. Si $f:A\to B$ es una biyección continua, y $f^{-1}:B\to A$ también es continua, entonces $U$ es abierto en $A\iff f(U)$ es abierto en $B$. Esto a su vez hace que $f$ preserve básicamente cada propiedad topológica de $A$ cuando se mapee a $B$, y por lo tanto decimos que $A$ y $B$ son topológicamente equivalentes o homeomórficos. La línea y el círculo no son homeomórficos. Esto es fácil de ver porque la línea se puede desconectar al quitar un punto y el círculo no puede.

El círculo y la línea, sin embargo, son localmente homeomórficos. "Localmente" básicamente significa que la propiedad se cumple en algún vecindario lo suficientemente pequeño de cada punto. Si tomas un pequeño vecindario de un punto en un círculo y un pequeño vecindario de un punto en una línea, esos dos conjuntos son homeomórficos. Por eso pensamos que la tierra parece ser un plano, no somos lo suficientemente grandes para ver fuera de algún vecindario en el cual la tierra en realidad sí parece un plano. Si fueras realmente alto, podrías ver que la tierra se curva. Esto correspondería a poder mirar fuera del $\epsilon$-vecindario donde la tierra es homeomórfica al plano.

Nota: Esta respuesta es para comparar $\mathbb{R}$ con un círculo de radio finito. La pregunta tal como se plantea no tiene mucho sentido, específicamente en cuanto al círculo de radio infinito, consulta la respuesta de @Kevin Carlson para obtener más detalles al respecto.

Estoy ignorando el caso de la línea finita porque si estás ubicado en el extremo obviamente las cosas se complican porque solo puedes moverte en una dirección. La respuesta para una línea finita en cualquier lugar excepto en un extremo es la misma que la respuesta para $\mathbb{R}$

Answer 2

Muchas personas han compartido tu intuición de que las líneas parecen círculos infinitos, pero el problema sigue siendo que si un círculo es el conjunto de puntos a una distancia fija de un punto fijo en el plano, entonces no hay círculos infinitos, porque no hay puntos en el plano infinitamente lejos uno del otro. Así que tu $\lim{R\to\infty}$ no converge a nada. Pero aún así, a menudo nos gustaría decir que las líneas y los círculos son obviamente lo mismo.

Una solución general a este problema es simplemente agregar lo mínimo posible a nuestra teoría para hacerlos iguales, y ver si hemos arruinado todo en el proceso. Como observas, la única diferencia topológica entre una línea y un círculo es que un círculo es compacto mientras que una línea no lo es (tú dices "cerrado", pero eso no es una propiedad topológica, aunque funcionaría al discutir la línea y el círculo como variedades).

De hecho, una línea se convierte en un círculo tan pronto como compactificamos agregando un solo punto. ¡Así que la manera mínima de hacer que las líneas sean círculos "infinitos" parece ser agregar un punto "en el infinito" para compactificar cada línea. Esto hace que el plano sea topológicamente una esfera, y luego puedes visualizar tu proceso límite como un círculo contenido en un hemisferio que se expande hasta que se acerca al ecuador. En este caso, resulta que estamos muy lejos de haber arruinado todo; más bien, este es un tema bastante interesante llamado geometría de Möbius.

Answer 3

Un sentido en que un segmento de línea y un círculo convergen a la misma línea para $R\to\infty$ es el siguiente:

Vamos a considerar un segmento de línea vertical que pase por el origen.
De manera similar, tomamos un círculo que pase por $(0,0)$ tal que el centro esté en el eje $x$. (Es decir, el centro será $(R,0)$.) Más precisamente:

• El segmento de línea para un $R$ dado es $L_R=\{0\}\times[-R,R]$.
• El círculo para un $R$ dado es $C_R=\{(x,y)\in\mathbb R^2; (x-R)^2+y^2=R^2\}$.

Entonces para $R\to\infty$ ambas cosas obviamente convergen al eje $y$. (Quizás ayude si dibujas un imagen).

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Si deseas reemplazar la palabra "obviamente" en la última oración por algo más riguroso, puedes usar la convergencia de Kuratowski.

Esto significa que puedes preguntar: ¿Cuál es el conjunto $$L=\{p\in\mathbb R^2; \lim_{R\to\infty} d(p,L_R)=0\}$$ donde $d(p,A)$ denota la distancia entre el punto $p$ y el conjunto $A$.

De manera similar, puedes preguntar acerca de $$C=\{p\in\mathbb R^2; \lim_{R\to\infty} d(p,C_R)=0\}.$$

Descubrirás que tanto $L$ como $C$ son iguales al eje $y$.

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Quizás la siguiente imagen pueda ilustrar cómo los círculos se acercan cada vez más a la línea vertical con un radio creciente.