Distancia entre un número real y un número entero

Question

Demostrar que si $a$ es real y $n$ natural. La distancia entre uno de lo números $a,2a,3a,...,na$ y un número entero es a más $\frac{1}{n}$.

Este es un problema de matemáticas discretas, pero agradecería consejos de análisis.

Answer 1

Real $a$ puede ser escrito como $a=\lfloor a\rfloor+\{a\}$ donde $\lfloor \cdot\rfloor$ es el mayor entero función y $\{a\}$ es la parte de la fracción de $a$. Ahora tenga en cuenta que $\{a\}\in[0,1)$ cualquier $a\in\mathbb{R}$. Partición de un intervalo de $[0,1)$ a $A_1,\cdots,A_n$ donde$A_k=\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)$$k\in\{1,\cdots,n\}$. Ahora $\{a\}$ debe pertenecer a uno de estos subintervalos, decir $A_i$. A continuación,$\{xa\}\in\left[0,\frac{xi~mod~n}{n}\right)$. Ahora $\mathbb{Z}_n^*$, el distinto de cero elementos de los enteros modulo $n$, es un grupo multiplicativo. Por tanto, para cada entero $i\leq n,\exists~ x\leq n$ tal que $xi\equiv1\mod n$. Que es para algunos $x\leq n$, $xa$ está dentro de una distancia de $\frac{1}{n}$ desde el entero $\lfloor x a\rfloor$ .

Answer 2

Para el análisis de la intuición:

Esto es en realidad una pregunta interesante de mirar el círculo - $S^1$ y un ángulo de $\theta$ y pidiendo a demostrar que uno de $\theta,\ ...,\ n\theta$ está cerca de a$0$$\frac{1}{n}$.

Para entender lo que he dicho anteriormente solo mira todo lo de mod $1$. Creo que ahora se puede visualizar por qué la afirmación es correcta.

Para la prueba:

Para demostrar que sólo divide a los casos:

1. $\theta \in [0,\frac{2\pi}{n}]$.
2. $\theta \in [\frac{2\pi}{n},2\frac{2\pi}{n}]$.

. . .

k. $\theta \in [(k-1)\frac{2\pi}{n},k\frac{2\pi}{n}]$.

. . .

n. $\theta \in [(n-1)\frac{2\pi}{n},n\frac{2\pi}{n}]$.

Y desde aquí es muy fácil.

Si estoy equivocado, siéntase libre brutalmente me regañe.