Grupo de automorfismos del grupo $(\mathbb{R}^n,+)$

Question

Como espacio vectorial, está claro que el grupo de automorfismos de $\mathbb{R}^n$ es $\mathsf{GL}_n(\mathbb{R})$.

Mi pregunta es: ¿Cuál es el grupo $\text{Aut}((\mathbb{R}^n,+))$ ($n \ge 2$) como grupo? Claramente, $\text{Aut}((\mathbb{R}^n,+))$ contiene a $\mathsf{GL}_n(\mathbb{R})$.

Dado que el grupo de automorfismos de $\mathbb{R}$ es enorme, para simplificar las cosas, apreciaría mucho una respuesta con respecto a automorfismos continuos (si se conoce).

La pregunta anterior está relacionada con esta pregunta sobre aplicaciones aditivas que no preservan la multiplicación por escalar. En particular, ¿hay isomorfismos continuos de $\mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) que no preservan la multiplicación por escalar? (Claramente, esto indicaría que la contención anterior es estricta.)

Answer 1

Los homomorfismos continuos se abordan en el comentario de @JyrkiLahtonen, así que abordaré los no continuos.

Tenga en cuenta que $\Bbb R$ es un espacio vectorial $\Bbb Q$ de dimensión $\mathfrak{c}$. ($\mathfrak{c}$ es la cardinalidad de $\Bbb R$)

Entonces, como espacios vectoriales $\Bbb Q$ y en particular como grupos, tenemos:

$\Bbb R^n \cong \left(\Bbb Q^{(\mathfrak{c})}\right)^n \cong \Bbb Q^{(n\mathfrak{c})} \cong \Bbb{Q}^{(\mathfrak{c})} \cong \Bbb R$ (¡Este isomorfismo no es continuo!)

Así que $\operatorname{Aut}(\Bbb R^n) \cong \operatorname{Aut}(\Bbb R)$, que se aborda en la página de wikipedia vinculada.

Tenga en cuenta que esto también ilustra lo grande que es $\operatorname{Aut}(\Bbb R)$: contiene una copia de $\operatorname{GL}_n(\Bbb R)$ para cada $n\in \Bbb N.

Answer 2

El conjunto de automorfismos continuos de $\mathbb R^n$ es $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$.

Para ver esto, supongamos que $f\colon\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es un homomorfismo aditivo, es decir, $f(u + v) = f(u) + f(v)$ y $f(0) = 0$, pero no sabemos si respeta la multiplicación por escalares. Si $n \geq 0$ es un entero, entonces $f(nu) = nf(u)$ porque la multiplicación por $n$ es una adición repetida y $f$ respeta la adición. Si $n \leq 0$ es un entero, entonces $f(nu) = -f(-nu) = -(-n)f(u) = nf(u)$. Entonces $f$ respeta los escalares de $\mathbb Z$. Ahora, $nf\left(\frac{1}{n}u\right) = f\left(n\frac{1}{n}u\right) = f(u)$, así que multiplicamos ambos lados por $\frac{1}{n}$ para obtener $f\left(\frac{1}{n}u\right) = \frac{1}{n}f(u)$. Dado que $f$ ya respeta $\mathbb Z$, ahora obtenemos que $f$ es $\mathbb Q$-lineal.

Hasta ahora nada de esto ha usado la continuidad. El grupo de automorfismos de $\mathbb R^n$ es $\mathrm{End}_{\mathbb Q}(\mathbb R^n)$. Si pedimos que $f$ sea continua y $r$ es un número real, tomamos racionales $a_i$ tal que $a_i \to r$ cuando $i \to \infty$. Tenemos $a_if(u) = f(a_iu)$. Tomando el límite cuando $i \to \infty$ en ambos lados (y usando que $f$ es continua para pasar este límite al interior de $f) obtenemos $rf(u) = f(ru)$. Entonces, si $f$ es continua, entonces $f$ es $\mathbb R$-lineal.