1 pieza, 3 colores

Question

Cada punto del espacio tridimensional es de color rojo, verde o azul. Demostrar que uno de los colores que alcanza todas las distancias, lo que significa que cualquier número real positivo representa la distancia entre dos puntos de este color.

Mi prueba: Supongamos por contradicción que $\exists \delta>0$ tal que para cualquier $x,y\in \mathbb{R}^3$ $d(x,y)=\delta$ $x$ $y$ tienen diferentes colores. Vamos a considerar el tetraedro en $\mathbb{R}^3$ con base $A_1A_2A_3$ y el vértice superior $A_4$. Supongamos $A_1$ es de color rojo,$A_2$ es de color verde, a continuación, $A_3$ es de color azul. A continuación, $A_4$ debe ser de color en uno de los colores azul, rojo o verde, pero debido a las $d(A_4,A_1)=d(A_4,A_2)=d(A_4,A_3)=\delta$ el colorante de punto de $A_4$ rojo,azul, o verde, es imposible.

EDIT: Vamos a demostrar que el ROJO llega a todas las distancias.Supongamos por contradicción que $\exists \delta>0$ tal que para cualquier $x,y\in \mathbb{R}^3$ $d(x,y)=\delta$ $x$ $y$ no tanto ROJO. Vamos a considerar el tetraedro regular en $\mathbb{R}^3$ con base $A_1A_2A_3$ y el vértice superior $A_4$. WLOG supongamos $A_1$ es de color rojo,$\ A_2$ es de color verde, a continuación, $A_3$ es de color azul. A continuación, $A_4$ debe ser de color en uno de los colores azul, rojo o verde, pero debido a las $d(A_4,A_1)=d(A_4,A_2)=d(A_4,A_3)=\delta$, pero el colorante de punto de $A_4$ rojo,azul, o verde, es imposible. Aquí tenemos la contradicción.

A la derecha?

Answer 1

Que han demostrado que para cualquier distancia $\delta$, podemos encontrar dos puntos en los que la distancia cuyos colores coinciden. Lo que no he probado (y lo que se pide) es que siempre podemos encontrar dos puntos en los que la distancia que son de un determinado color (rojo, por ejemplo). Su construcción deja abierta la posibilidad de que (dicen) $\delta = 1$ de todos los pares así construidos son de color azul, mientras que para $\delta = 2$ de todos los pares así construidos son de color rojo.

EDIT: no estoy totalmente seguro de lo que la lógica está en su revisión de la prueba; la conclusión de las oraciones están bastante claro para mí. Sin embargo, parece asumir que los vértices de cualquier tetraedro incluye los tres colores, pero este no es necesariamente el caso.

Answer 2

Supongamos que no hay color que alcanza todas las distancias. Esto significa que existe una distancia $r$ no alcanzado por cualquiera de los dos puntos rojos, una distancia $b$ no alcanzado por cualquiera de los dos puntos azules, y lo mismo $g$ con puntos verdes. WLOG $r\ge b\ge g$.

Deje $x$ ser cualquier punto rojo*. Deje $S_x$ el (la superficie de la esfera de radio $r$ centrada en $x$. Cada punto en $S_x$ debe ser de color azul o verde.

Deje $y$ ser cualquier punto azul en el $S_x$**. Deje $S_y$ ser la esfera de radio $b$ centrada en $y$. Desde $b\le r$, la intersección de a $S_x$ $S_y$ es un círculo. Cada punto en el que el círculo debe ser de color verde.

Después de dibujar una imagen, usted debería ser capaz de convencerse a sí mismo de que el diámetro de este círculo es, al menos,$b$; desde $b\ge g$, existe dos puntos en el círculo cuya distancia es de $g$, lo que contradice el supuesto hecho de que no hay dos puntos verdes son a distancia $g$.

*Aquí estamos suponiendo que existe un punto rojo. Lo que si no hay puntos rojos? Esto se deja como ejercicio para el lector.

**¿Qué hacer si no hay punto azul existe?

Answer 3

Usted está en el camino correcto, pero su prueba podría hacer con un poco de limpieza para hacerla más clara.

Supongamos por contradicción que $\exists \delta>0$ tal que para cualquier $x,y\in \mathbb{R}^3$ $d(x,y)=\delta$ $x$ $y$ tienen diferentes colores.

Considerar el tetraedro regular en $\mathbb{R}^3$ con todas las longitudes de lado igual a $\delta$, y la etiqueta de la base de $A_1A_2A_3$ y el vértice superior $A_4$. Sin pérdida de generalidad, tome $A_1$ color rojo. A continuación, $A_2$ deben ser de diferente color, dicen que es verde. A continuación, $A_3$ debe ser de color diferente al rojo y al verde, así que decir que es azul. Pero ahora, $A_4$ no puede ser de color rojo, verde o azul, y llegar a nuestro deseado contradicción.

Los dos cambios importantes que he hecho son para especificar el tetraedro tiene cara de longitud $\delta$, y explicar por qué nos tomamos $A_1$ rojo, $A_2$ verde y así sucesivamente.

EDICIÓN: Michael Seifert puntos más importantes relacionados con su prueba de lo que me perdí.