Es $1+\sqrt{5}$ un primo bajo el $\mathbb{Z}[{\sqrt{5}}]$ ¿dominio?

Question

El título se explica por sí mismo. Sé que es irreducible pero ¿es primo? ¿Cómo se demuestra esta primalidad y/o irreducibilidad de $1+\sqrt{5}$ .

¿Puede explicar brevemente cómo se define un primo en $\mathbb{Z}[{\sqrt{5}}]$ ? Sé que sólo será divisible por sus asociados y la unidad. Pero, por favor, cuente las condiciones de la norma y otras propiedades o la definición completa y rigurosa de los primos.

Answer 1

Las definiciones son realmente muy importantes. Dos personas que han respondido a esta pregunta se han extraviado pensando que preguntabas por $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ Es un error grande, pero comprensible, que han cometido muchos preguntantes en este sitio.

Hay al menos dos cosas diferentes a las que se puede referir con $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ . Uno es el anillo de enteros algebraicos de la forma $a + b \sqrt{5}$ con $a, b \in \mathbb{Z}$ Esto incluye números como $1 + \sqrt{5}$ y $-3 + 2 \sqrt{5}$ . O podría referirse al anillo de todo enteros algebraicos en $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ que podría potencialmente incluyen números como $$\frac{3}{4} + \frac{7 \sqrt{5}}{3},$$ pero me estoy adelantando.

Si se refiere a lo primero, la respuesta es clara: $1 + \sqrt{5}$ no es primo. Como $(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5}) = -4$ pero $1 + \sqrt{5}$ no es un divisor de $-2$ ni $2$ se deduce que $1 + \sqrt{5}$ es irreducible pero no primo (me tomo la palabra de que el número es irreducible).

Si te refieres a esto último, entonces has pasado por alto un par de cosas, porque $1 + \sqrt{5}$ es realmente compuesto. Verifique que $$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ es un entero algebraico con un polinomio mínimo $x^2 - x - 1$ (¿has oído hablar de una cosa llamada la proporción áurea?) Entonces $$2 \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = 1 + \sqrt{5}.$$

Answer 2

En un anillo $R$ decimos que una unidad no nula $p \in R$ es prime si para cualquier $a, b \in R \setminus \{ 0 \}$ tal que $p | ab$ tenemos $p | a$ ou $p | b$ . Mathmo123 mostró $1 + \sqrt{5}$ no era de primera.

Answer 3

No, no es de primera. Compara $6$ . Es $6$ primo en $\textbf Z$ ? Si lo fuera, lo veríamos siempre que $6 \mid ab$ , ya sea $6 \mid a$ ou $6 \mid b$ . Sin embargo, $6 \mid 3 \times 4$ pero $6 \nmid 3$ ni $4$ .

Asimismo, en $\textbf Z[\sqrt{-5}$ , $(1 + \sqrt{-5}) \mid 2 \times 3$ pero...

Answer 4

Normalmente se definiría un elemento no nulo $a$ de un anillo $R$ sea primo si el ideal que genera es un ideal primo.

Según esta definición, $1+\sqrt 5$ es no primo, ya que $4 =2\times2= (1+\sqrt5)(\sqrt5-1) \in \langle1+\sqrt 5\rangle$ pero $2\notin\langle1+\sqrt 5\rangle$ .

Debe tener en cuenta que $\mathbb Z[\sqrt 5]$ no es el anillo de enteros de $\mathbb Q(\sqrt 5)$ . Más bien $\mathbb Z[\frac{1+\sqrt 5}2]$ es, y $1+\sqrt 5$ es primo en este anillo.

Answer 5

Tenemos que ponernos de acuerdo en las definiciones antes de dar una respuesta significativa. Si le preguntaras a Ethan Bolker hace cincuenta años, diría que sí, $1 + \sqrt{-5}$ es efectivamente primo en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ . Está ahí, en blanco y negro, en la página 102 de su clásico Teoría elemental de los números: Un enfoque algebraico :

nota que $1 + \sqrt{-5}$ es primo en $\textbf A(-5)$ porque su norma es 6, que es primo en $\textbf B(-5)$

Dover reeditó el libro en 2007, y Bolker escribió un nuevo prefacio y corrigió algunos errores, pero también sugirió que hoy habría escrito el libro de forma muy diferente.

Hace cincuenta años, usaba "primo" para significar lo que hoy la mayoría llamamos "irreductible". Es decir, si $p$ que no es una unidad, es divisible sólo por unidades y asociados, es irreducible. Por ejemplo, 7 es irreducible en $\mathbb Z$ ya que sólo es divisible por $-7, -1, 1, 7$ .

En los dominios infinitos, podemos acotar dónde buscar mirando sólo los números que son en algún sentido "más pequeños" que $p$ . En anillos imaginarios como $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ Podemos considerar que "más pequeño" significa más cerca de 0, o que tiene una norma más pequeña.

Para llamarlo primo, establecemos ahora el requisito adicional de que siempre que $p \mid ab$ , $p$ también debe dividir uno de $a$ ou $b$ o tal vez ambas cosas. En dominios como $\mathbb Z$ ou $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$ el requisito adicional es irrelevante: todos los irreducibles son primos.

Pero en dominios como $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ La distinción es muy importante. Volviendo a nuestro ejemplo de 7, vemos que es irreducible pero no primo en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ , ya que $7 \mid (3 - \sqrt{-5})(3 + \sqrt{-5})$ pero $7 \nmid (3 - \sqrt{-5})$ y $7 \nmid (3 + \sqrt{-5})$ o bien.

Asimismo, vemos que $1 + \sqrt{-5}$ es irreducible, ya que sólo es divisible por $-1 - \sqrt{-5}, -1, 1, 1 + \sqrt{-5}$ . Pero no es primordial, porque $(1 + \sqrt{-5}) \mid 2 \times 3$ pero $(1 + \sqrt{-5}) \nmid 2$ , $(1 + \sqrt{-5}) \nmid 3$ . Y 2 y 3 también son irreducibles pero no primos en este dominio.

Y entonces la norma es una indicación más fuerte de la primalidad. Dado un número $z \in \mathbb Z[\sqrt{-5}]$ con parte imaginaria no nula, si $N(z)$ es primo en $\mathbb Z$ entonces $z$ es primo en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ . Ejercicio rápido: verificar $3 + 2 \sqrt{-5}$ es irreducible y de primera.

En cuanto a un número impar positivo puramente real $p$ que es primo en $\mathbb Z$ e irreducible en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ así es como puedes saber si también es primo: intenta resolver $x^2 \equiv p - 5 \pmod p$ . Si eso no tiene soluciones, entonces $p$ es efectivamente primo.

Por ejemplo, con 7 vemos que $3^2 \equiv 2 \pmod 7$ y $4^2 \equiv 2 \pmod 7$ por lo que 7 no es primo, lo que nos lleva fácilmente a encontrar que $N(3 + \sqrt{-5}) = 14$ y $N(4 + \sqrt{-5}) = 21$ (hay más, por supuesto, pero estos son suficientes para demostrar que 7 es irreductible pero no primo). Por otro lado, 11 es irreducible y primo desde $x^2 \equiv 6 \pmod{11}$ no tiene soluciones.

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Estas observaciones pueden generalizarse a otros anillos enteros cuadráticos imaginarios. Por ejemplo, se quiere ver si $x^2 \equiv p - 10 \pmod p$ tiene soluciones para determinar la primalidad en $\mathbb Z[\sqrt{-10}]$ .

Una cosa más: podría valer decir que 5 no es irreducible ni primo en $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ , ya que $(-1)(\sqrt{-5})^2 = 5$ .