Estoy resolviendo un ejercicio de Reid de bachillerato Álgebra Conmutativa, que pide a la siguiente. Deje $A$ ser Noetherian, y $X\subseteq \text{Spec A}$ ser Zariski cerrado. A continuación, $X$ es irreductible (es decir, no la unión de dos subconjuntos cerrados) si y sólo si $I(X)=\cap_{P\in X} P$ es primo. Mi problema es que me escribió una prueba en la que no veo defectos, pero yo no uso el hecho de que $A$ fue Noetherian. Podría ser que Noetherianity no es necesario?
He aquí un boceto. Por si parte, por contraposición: si $X$ es reducible, hay cerró $X_1,X_2$ tal que $X=X_1\cup X_2$, siendo ambos no anidada y distinta. Esto implica que $I(X_1)$ $I(X_2)$ también son distintos y no anidados, por lo que hay $f\in I(X_1)\setminus I(X_2)$$g\in I(X_2)\setminus I(X_1)$, mientras que, obviamente,$fg\in I(X)$, que por lo tanto no es primo.
Por el sólo si, de nuevo por contraposición. Decir $I(X)=I$ no es primo, por lo que no es$fg\in I$$f,g\notin I$. La prueba se basa en la afirmación\begin{equation*} X=V(I,f)\cup V(I,g)\end{ecuación*} Ambas direcciones son obvias: si $P\in X$, $P\supseteq I$ $fg\in P$ y por lo tanto cualquiera de las $f$ o $g$$P$, de modo que $P\in V(I,f)$ o $P\in V(I,g)$. Por otro lado, si $P$ está en el lado derecho, decir $P\in V(I,f)$, entonces obviamente $P\supseteq I$, por lo que el $P\in LHS$.
¿Alguien puede ver los defectos?
