Teorema del residuo para una función racional

Question

Evaluar %#% $ #%

Mi preocupación: una de las consecuencias del teorema de residuos establece que, dado un polinomio de la forma $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^4}{1+x^8}\mathrm{d} x.$ tal que excede el grado de $P/Q$ $Q$ por al menos dos, la integral puede entonces expresarse como %#% $ de #% los ceros del $P$ en el plano medio superior aquí se da b y $$\int fdz=2\pi i\sum_{U}{\mathrm{Res}\left ( f;z_{i} \right )}.$ $Q$. Ahora se da el residuo a $z=e^{\frac{i \pi}{8}\left ( 2n+1 \right )}$ $n\in \left \{0,1,2,3\right \}$.

¿Yo debo derivar la función polinómica o exponencial?

Answer 1

Estás en el camino correcto. Por el teorema de residuo $$\begin{align}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^4}{1+x^8}dx&= 2\pi i\sum_{n=0}^3\left.\frac{z^4}{8z^7}\right|_{z=w_n}=\frac{\pi i}{4}\left(w_0^{-3}+w_1^{-3}+w_2^{-3}+w_3^{-3}\right)\\ &=\frac{\pi}{4}\left(\sin(3\pi/8)+\sin(9\pi/8)+\sin(15\pi/8)+\sin(21\pi/8)\right)\\&=\frac{\pi}{2}\left(\sin(3\pi/8)-\sin(\pi/8)\right) =\frac{\pi}{\sqrt{2}}\sin(\pi/8) \end {Alinee el} $$ donde $w_n=z=e^{\frac{i \pi}{8}\left ( 2n+1 \right )}$.

P.d.: Tenga en cuenta que por el % de fórmula de medio ángulo $$\sin(\pi/8)=\sqrt{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt{\frac{1-1/\sqrt{2}}{2}}.$$

Answer 2

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Answer 3

Ya tienes una buena respuesta. Pero aquí es una forma hábil para hacer la integración. En primer lugar tenga en cuenta que:\begin{align} \int^\infty_{-\infty} \frac{x^4}{x^8+1}dx= \text{Re} \int^\infty_{-\infty} \frac{1}{x^4-i}dx \end {Alinee el} ahora han reducido el problema de cálculo de 4 residuos a los residuos a sólo 2. Y en el plano medio superior están en $\exp({\frac{1}{8} i\pi}) $ y $\exp({\frac{5}{8} i\pi})$. No se olvide de tomar la parte real después de haber terminado el cálculo.

Answer 4

En lugar de elegir un contorno que encierra todos los polos en la mitad superior del plano, podemos elegir aquí una "cuña" de contorno $\displaystyle C$ compone de (i) el segmento de la línea de$\displaystyle z=0$$\displaystyle z=R$, (ii) el arco circular de$\displaystyle z=R$$\displaystyle z=e^{i\pi/2}$, y (iii) el segmento de la línea de$\displaystyle z=e^{i\pi/2}$$\displaystyle z=0$. Este contorno encierra los dos polos en$\displaystyle z=e^{i\pi/8}$$\displaystyle z=e^{i3\pi/8}$.

A partir de los residuos teorema, nos encontramos con que para $R>1$

$$\begin{align} \oint_C \frac{z^4}{1+z^8}\,dz&=(1-i)\int_0^R \frac{x^4}{1+x^8}\,dx+\int_0^{\pi/2}\frac{iR^5e^{i5\phi}}{1+R^8e^{i8\phi}}\,d\phi\\\\ &=2\pi i \text{Res}\left(\frac{z^4}{1+z^8}, z=e^{i\pi/8}, z=e^{i3\pi/8}\right)\\\\ &=2\pi i \left(\frac{1}{8e^{i3\pi/8}}+\frac{1}{8e^{i9\pi/8}}\right)\\\\ &=\frac\pi2 e^{-i\pi/4}\cos(3\pi/8) \end{align}$$

Dejando $R\to \infty$ y ecploiting incluso la simetría nos encontramos con que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^\infty \frac{x^4}{1+x^8}\,dx=\frac{\pi}{\sqrt 2}\cos(3\pi/8)}=\frac\pi{\sqrt2}\sin(\pi/8)$$