Que q sea un número entero positivo que no es un cubo perfecto. Demostrar que existe un % constante positivo Ctales que para todos los números naturales n, uno tiene %#% #% donde{nq13}+{nq23}≥Cn−12 denota la parte fraccional de {x}
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Nosotros probamos un poco más fuerte resultado donde la parte fraccionaria {x} se sustituye por la distancia de x al entero más cercano, llame a ‖. Desde \|x\| \leq \{ x \} todos los x, una desigualdad \|n q^{1/3}\| + \|nq^{2/3}\| \geq C n^{-1/2} implicará la deseada \{n q^{1/3}\} + \{nq^{2/3}\} \geq C n^{-1/2}.
Vamos a necesitar la siguiente estimación:
Lema 1: existe una constante c>0 tal que |a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}| \geq c / c^2 para todos los distinto de cero (a_0,a_1,a_2) \in {\bf Z}^3, donde A = |a_0| + |a_1| + |a_2|.
(Explícitamente podemos tomar c = q^{-4/3}.)
Prueba: Considerar La Posibilidad De N := \prod_{r^3 = q} (a_0 + a_1 r + a_2 r^2) = a_0^3 + q a_1^3 + q^2 a_2^3 - 3 q a_0 a_1 a_2, el producto tomadas a través de los tres complejos raíces cúbicas rq. El factor de r = q^{1/3}a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}. Debido a q no es un cubo y (a_0,a_1,a_2) \neq (0,0,0), el entero N debe ser distinto de cero; de otra manera, uno de los factores a_0 + a_1 r + a_2 r^2 desaparecerían, que no es posible debido a que el polinomio X^3-q es irreductible. Por lo tanto |N| \geq 1. Cada uno de los factores complejos que tiene valor absoluto en la mayoría de los |a_0| + q^{1/3} |a_1| + q^{2/3} |a_2| \leq q^{2/3} A. Por lo tanto,|a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}| \geq (q^{2/3} A)^{-2}, QED.
Ahora supongamos n es cualquier entero positivo, y deje m_1,m_2 ser el los números enteros más cercano a nq^{1/3} nq^{2/3} respectivamente, por lo que \| n q^{1/3} \| = |m_1 - n q^{1/3}| \| n q^{2/3} \| = |m_2 - n q^{2/3}|. Deje a_0, a_1, a_2 ser cualquier enteros, no todos cero, tales que n a_0 + m_1 a_1 + m_2 a_2 = 0; y establecer A = |a_0| + |a_1| + |a_2|. Entonces 0 = n a_0 + m_1 a_1 + m_2 a_2 = n (a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}) + a_1 (m_1 - n q^{1/3}) + a_2 (m_2 - n q^{2/3}). Entonces el primer término tiene valor absoluto, al menos, cn/A^2 por el Lema 1. Así cn / ^2 \leq a_1 |m_1 - n q^{1/3}| + a_2 |m_2 - n q^{2/3}| \leq ( \| n q^{1/3} \| + \| n q^{2/3} \|), de dónde \| n q^{1/3} \| + \| n q^{2/3} \| \geq cn / A^3.
Esto será un límite inferior de la forma deseada, C / n^{1/2} siempre podemos demostrar que el |a_i|, y por lo tanto también se A, puede estar acotada arriba por algún múltiplo de n^{1/2}. De esta manera se sigue tomando n = m_0 en la estimación siguiente, que es un caso especial de Siegel Lema en pequeñas soluciones de subdeterminado sistemas lineales.
Lema 2: Deje m_0, m_1, m_2 ser enteros, no todos cero. Entonces existen enteros a_0, a_1, a_2, no todos cero, tales que a_0 m_0 + a_1 m_1 + a_2 m_2 = 0 y cada |a_i| \leq (|m_0|+|m_1|+|m_2|)^{1/2}.
Prueba: podemos suponer sin pérdida de generalidad que cada una de las m_i \geq 0 (cambiando algunos a_i, m_i -a_i, -m_isi es necesario). Deje H = \lfloor (m_0+m_1+m_2)^{1/2} \rfloor, lo cual es positivo porque (m_0,m_1,m_2) \neq (0,0,0). Hay (H+1)^3 triples (\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2) con 0 \leq \alpha_i \leq H por cada i=0,1,2. Cada uno de los rendimientos de un número entero no negativo \alpha_0 m_0 + \alpha_1 m_1 + \alpha_2 m_2 \leq (m_0+m_1+m_2)H < (H+1)^2 H. Por lo tanto \alpha_0 m_0 + \alpha_1 m_1 + \alpha_2 m_2 asume en la mayoría de los (H+1)^2 H valores distintos; porque (H+1)^3 > (H+1)^2 H, debe haber dos triples, decir (\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2) y (\alpha'_0,\alpha'_1,\alpha'_2), que producen el mismo valor: \alpha_0 m_0 + \alpha_1 m_1 + \alpha_2 m_2 = \alpha'_0 m_0^\phantom{.} + \alpha'_1 m_1^\phantom{.} + \alpha'_2 m_2^\phantom{.}. Establecimiento a_i = \alpha_i - \alpha_i' por cada i=0,1,2, por lo tanto, obtener un valor distinto de cero solución de a_0 m_0 + a_1 m_1 + a_2 m_2 = 0 con cada una de las |a_i| \leq H, QED.
El argumento se aplica más generalmente demostrar el mismo límite \|n r\| + \|n r^2\| \geq C n^{-1/2} (posiblemente con una constante diferente C) para cualquier cúbicos irracionalidad r; más generalmente aún, \sum_{i=1}^k \|n r^i\| \geq C_r n^{-1/k} para cualquier irracional r grado k+1. Los límites son agudos (hasta el cambio de la constante de C_r), como puede verse por el mismo tipo de caja argumento que se utilizó para demostrar el Lema 2.
P. S. veo que Phil. Z ya dio un AoPS enlace (en un comentario a un ya eliminado respuesta) a la fuente del problema en este año de China de la Olimpiada Nacional; uno de los comentarios, no (por "talkon") da una referencia a la página 79 de Cassels' Introducción a Diophantine Aproximación para el resultado general.