Muestran que

Question

Que $q$ sea un número entero positivo que no es un cubo perfecto. Demostrar que existe un % constante positivo $C$tales que para todos los números naturales $n$, uno tiene %#% $ #% donde $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$ denota la parte fraccional de $\{ x \}$

Answer 1

Nosotros probamos un poco más fuerte resultado donde la parte fraccionaria $\{ x \}$ se sustituye por la distancia de $x$ al entero más cercano, llame a $\|x\|$. Desde $\|x\| \leq \{ x \}$ todos los $x$, una desigualdad $\|n q^{1/3}\| + \|nq^{2/3}\| \geq C n^{-1/2}$ implicará la deseada $\{n q^{1/3}\} + \{nq^{2/3}\} \geq C n^{-1/2}$.

Vamos a necesitar la siguiente estimación:

Lema 1: existe una constante $c>0$ tal que $$ |a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}| \geq c / c^2 $$ para todos los distinto de cero $(a_0,a_1,a_2) \in {\bf Z}^3$, donde $A = |a_0| + |a_1| + |a_2|.$

(Explícitamente podemos tomar $c = q^{-4/3}$.)

Prueba: Considerar La Posibilidad De $$ N := \prod_{r^3 = q} (a_0 + a_1 r + a_2 r^2) = a_0^3 + q a_1^3 + q^2 a_2^3 - 3 q a_0 a_1 a_2, $$ el producto tomadas a través de los tres complejos raíces cúbicas $r$$q$. El factor de $r = q^{1/3}$$a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}$. Debido a $q$ no es un cubo y $(a_0,a_1,a_2) \neq (0,0,0)$, el entero $N$ debe ser distinto de cero; de otra manera, uno de los factores $a_0 + a_1 r + a_2 r^2$ desaparecerían, que no es posible debido a que el polinomio $X^3-q$ es irreductible. Por lo tanto $|N| \geq 1$. Cada uno de los factores complejos que tiene valor absoluto en la mayoría de los $|a_0| + q^{1/3} |a_1| + q^{2/3} |a_2| \leq q^{2/3} A$. Por lo tanto,$|a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}| \geq (q^{2/3} A)^{-2}$, QED.

Ahora supongamos $n$ es cualquier entero positivo, y deje $m_1,m_2$ ser el los números enteros más cercano a $nq^{1/3}$ $nq^{2/3}$ respectivamente, por lo que $\| n q^{1/3} \| = |m_1 - n q^{1/3}|$ $\| n q^{2/3} \| = |m_2 - n q^{2/3}|$. Deje $a_0, a_1, a_2$ ser cualquier enteros, no todos cero, tales que $n a_0 + m_1 a_1 + m_2 a_2 = 0$; y establecer $A = |a_0| + |a_1| + |a_2|$. Entonces $$ 0 = n a_0 + m_1 a_1 + m_2 a_2 = n (a_0 + a_1 q^{1/3} + a_2 q^{2/3}) + a_1 (m_1 - n q^{1/3}) + a_2 (m_2 - n q^{2/3}). $$ Entonces el primer término tiene valor absoluto, al menos, $cn/A^2$ por el Lema 1. Así $$ cn / ^2 \leq a_1 |m_1 - n q^{1/3}| + a_2 |m_2 - n q^{2/3}| \leq ( \| n q^{1/3} \| + \| n q^{2/3} \|), $$ de dónde $\| n q^{1/3} \| + \| n q^{2/3} \| \geq cn / A^3$.

Esto será un límite inferior de la forma deseada, $C / n^{1/2}$ siempre podemos demostrar que el $|a_i|$, y por lo tanto también se $A$, puede estar acotada arriba por algún múltiplo de $n^{1/2}$. De esta manera se sigue tomando $n = m_0$ en la estimación siguiente, que es un caso especial de Siegel Lema en pequeñas soluciones de subdeterminado sistemas lineales.

Lema 2: Deje $m_0, m_1, m_2$ ser enteros, no todos cero. Entonces existen enteros $a_0, a_1, a_2$, no todos cero, tales que $a_0 m_0 + a_1 m_1 + a_2 m_2 = 0$ y cada $|a_i| \leq (|m_0|+|m_1|+|m_2|)^{1/2}$.

Prueba: podemos suponer sin pérdida de generalidad que cada una de las $m_i \geq 0$ (cambiando algunos $a_i, m_i$ $-a_i, -m_i$si es necesario). Deje $H = \lfloor (m_0+m_1+m_2)^{1/2} \rfloor$, lo cual es positivo porque $(m_0,m_1,m_2) \neq (0,0,0)$. Hay $(H+1)^3$ triples $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)$ con $0 \leq \alpha_i \leq H$ por cada $i=0,1,2$. Cada uno de los rendimientos de un número entero no negativo $\alpha_0 m_0 + \alpha_1 m_1 + \alpha_2 m_2 \leq (m_0+m_1+m_2)H < (H+1)^2 H$. Por lo tanto $\alpha_0 m_0 + \alpha_1 m_1 + \alpha_2 m_2$ asume en la mayoría de los $(H+1)^2 H$ valores distintos; porque $(H+1)^3 > (H+1)^2 H$, debe haber dos triples, decir $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)$ y $(\alpha'_0,\alpha'_1,\alpha'_2)$, que producen el mismo valor: $$ \alpha_0 m_0 + \alpha_1 m_1 + \alpha_2 m_2 = \alpha'_0 m_0^\phantom{.} + \alpha'_1 m_1^\phantom{.} + \alpha'_2 m_2^\phantom{.}. $$ Establecimiento $a_i = \alpha_i - \alpha_i'$ por cada $i=0,1,2$, por lo tanto, obtener un valor distinto de cero solución de $a_0 m_0 + a_1 m_1 + a_2 m_2 = 0$ con cada una de las $|a_i| \leq H$, QED.

El argumento se aplica más generalmente demostrar el mismo límite $\|n r\| + \|n r^2\| \geq C n^{-1/2}$ (posiblemente con una constante diferente $C$) para cualquier cúbicos irracionalidad $r$; más generalmente aún, $\sum_{i=1}^k \|n r^i\| \geq C_r n^{-1/k}$ para cualquier irracional $r$ grado $k+1$. Los límites son agudos (hasta el cambio de la constante de $C_r$), como puede verse por el mismo tipo de caja argumento que se utilizó para demostrar el Lema 2.

P. S. veo que Phil. Z ya dio un AoPS enlace (en un comentario a un ya eliminado respuesta) a la fuente del problema en este año de China de la Olimpiada Nacional; uno de los comentarios, no (por "talkon") da una referencia a la página 79 de Cassels' Introducción a Diophantine Aproximación para el resultado general.