Cuál es la probabilidad de que la primera cabeza aparecerán en los lanzamientos pares

Question

Pregunta

$\text{Consider a coin with probability R to be heads. What is the probability}$ $\text{that the first head will appear on the even numbered tosses?}$

Mi enfoque

Deje que el % de probabilidad requiere $=P$.

Por lo tanto, podemos escribir nuestra eauation como-:

$$P=(1-R) \times R+(1-R) \times (1-R) \times (1-R) \times P $$

$$P(1-(1-R) \times (1-R) \times (1-R))=(1-R) \times R $$

$$P=\frac{(1-R) \times R }{(1-(1-R) \times (1-R) \times (1-R)}$$

¿Estoy correcto?

Se da como respuesta-:

$$P=\frac{(1 - R)}{(2 - R)}$$

Answer 1

Método alternativo - para ver la primera cabeza en un par tirar necesitamos tener:

1. Mezcle 1 es una cola (probabilidad 1-R)

2. Renumeración Lanzar 2 como Tirar 1, Lanzar 3 como Lanzar 2 etc. ahora estamos quieren ver primero la cabeza en un extraño numeradas tirar

Así

P(primer jefe en incluso toss) = P(primer jefe impares toss) x (1-R)

pero si denotamos P(primer jefe en incluso tirar) por p , entonces P(primer jefe impares toss) = 1-p, por lo que

$p = (1-p)(1-R)$

$\Rightarrow p + p(1-R) = 1-R$

$\Rightarrow p = \frac{1-R}{2-R}$

Comprobaciones de validez: (i) p=0 cuando R=1 (ii) p enfoques 1/2 R se aproxima a 0.

Answer 2

La probabilidad de que el primer jefe aparecerá en el segundo sorteo es $(1 - R)R$.

La probabilidad de que el primer jefe aparecerá en el cuarto es $(1 - R)^3R$.

La probabilidad de que el primer jefe aparecerá en el sexto sorteo es $(1 - R)^5R$.

En general, la probabilidad de que el primer jefe aparecerá en la $2k$th toss es $(1 - R)^{2k - 1}R$.

Por lo tanto, la probabilidad deseada es $$p = \sum_{k = 1}^{\infty} (1 - R)^{2k - 1}R = (1 - R)R\sum_{k = 1}^{\infty} (1 - R)^{2k}$$ que es una serie geométrica con razón común $(1 - R)^2$. Si $R < 1$, obtenemos \begin{align*} p & = (1 - R)R \cdot \frac{1}{1 - (1 - R)^2}\\ & = \frac{(1 - R)R}{1 - (1 - 2R + R^2)}\\ & = \frac{(1 - R)R}{2R - R^2}\\ & = \frac{(1 - R)R}{R(2 - R)}\\ & = \frac{1 - R}{2 - R} && \text{provided that %#%#%} \end{align*} Si $R \neq 0$, luego se dirige será la obtenida en el primer lanzamiento, por lo $R = 1$. Si $p = 0$, luego se dirige nunca será obtenida, así que de nuevo $R = 0$.

Answer 3

La ecuación de $P$ no está bastante bien. Vamos a escribir $T_k$ para el resultado de la $k$-th toss: $T_k \in \{H,T\}$, e $P(T_1 = H) = R$$P(T_1 = T) = 1-R$. A continuación, necesitamos cuidadosamente dividida casos: $$ P(\text{primeras cabezas en incluso}) = P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = H)P(T_1 = H) \\ + P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = T, T_2 = T)P(T_1 = T, T_2 = T) \\ + P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = T, T_2 = H)P(T_1 = T, T_2 = H) \\ = P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = T, T_2 = T) \cdot (1-R)^2 \\ + P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = T, T_2 = H) \cdot R(1-R). $$ Ahora observar que $$ P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = T, T_2 = T) = P(\text{primeras cabezas en incluso}) $$ (por la propiedad de Markov, si te gusta), y $$ P(\text{primeras cabezas, incluso en} \mediados de T_1 = T, T_2 = H) = 1 $$ dado que este es un "éxito". Por lo tanto, la escritura $p = P(\text{first heads on even})$, tenemos $$ p = p(1-R)^2 + R(1-R). $$

Este es el mismo que tenía , excepto que usted tuvo un factor de $(1-R)^3$. Yo lo he puesto en todos los detalles para que usted pueda ver exactamente por qué es una potencia de 2, no de una potencia de 3.

Intuitivamente, creo que tienes la idea, excepto que usted estaba pensando que si no conseguimos $TH$, luego tenemos que ir a $TTT$ a no fallar -- lo cual es correcto, pero esta primera $T$ es tomado en cuenta con la probabilidad de $p$, de modo que podríamos escribir de inmediato $$ p = R(1-R) + p(1-R)^2; $$ el peligro de esta, como se ha encontrado, sin embargo, es que si hay un pequeño error, entonces no es del todo claro de dónde vino.

Espero que esto ayude! :)