Una transformación lineal $T : P_2 \to P_2$ ha matriz con respecto a $S$ da por:
$$[T]\,( S) = \begin{bmatrix} 1/2&-3&1/2\\ -1&4&-1\\ 1/2&2&1/2\\ \end{bmatrix} $$
¿Cómo encontrar $T(a+bx+cx^2)$?
Gracias!!
Respuesta
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Cada polinomio $S$ grado $2$ s.t. $S \in P_2$ puede ser representado como un vector en el espacio tridimensional: $$ S = a + bx + cx^2 \quad \ffi \quad \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ \end{bmatrix}, $$ por lo tanto, podemos asociar $S$ con un vector 3D $$ S \longleftrightarrow \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix}. $$
Cuando se tiene el polinomio representado como un vector, aplicando una transformación lineal $T$, dada en forma de una matriz, es un pedazo de la torta:
$$ [T]\,( S) = \begin{bmatrix} 1/2&-3&1/2\\ -1&4&-1\\ 1/2&2&1/2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}a - 3 b + \frac{1}{2}c \\ -a + 4 b -c \\ \frac{1}{2}a +2 b + \frac{1}{2}c \\ \end{bmatrix} , $$ que le corresponden a la polinomio
$$ T\left( a+bx+cx^2\right) = \left(\frac{1}{2}a - 3 b + \frac{1}{2}c\right) + \left( -a + 4 b -c \right) x + \left(\frac{1}{2}a +2 b + \frac{1}{2}c \right)x^2 $$
