Deje Gr el infinito complejo Grassmannian colector. Sabemos que H∗(Gr)=C[x1,⋯,xn] donde xi son las clases de Chern de tautológica paquete. Pero H∗(Gr) también es isomorfo al anillo de C[c1,⋯,cn] donde ci son los polinomios simétricos en yi donde yi son las variables en C[y1,⋯,yn]. ¿Cómo puedo ver las clases de Chern como simétrica polinomios?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Recordar el principio de separación de vector complejo paquetes.
Teorema. (Complejo Principio de separación) Para todo el rango de n vectoriales complejos paquetes de p:E⟶X, existe un colector Y y un mapa de la f:Y⟶X tal que
f∗:H∗(X)⟶H∗(Y) es inyectiva.
f∗E=L1⊕⋯⊕Ln cuando la Li's son complejos de la línea de paquetes.
El principio de separación nos dice que para fines de cálculo, se puede considerar un vector complejo paquete como Whitney suma de los complejos de la línea de paquetes.
Dado ese fraccionamiento f∗E=L1⊕⋯⊕Ln, escribir yk=c1(Lk). A continuación, el Whitney fórmula de producto y connaturalidad de las clases de Chern, tenemos f∗c(E)=c(f∗E)=c(L1⊕⋯⊕Ln)=n∏k=1c(Lk)=n∏k=1(1+c1(Lk))=n∏k=1(1+yk), que tras la expansión de la muestra que f∗ck(E) kth primaria simétrica polinomio en el yi's.