Cohomology de Grassmannian

Question

Deje $G_r$ el infinito complejo Grassmannian colector. Sabemos que $H^{*}(G_r)=\mathbb{C}[x_{1}, \cdots, x_{n}]$ donde $x_i$ son las clases de Chern de tautológica paquete. Pero $H^{*}(G_r)$ también es isomorfo al anillo de $\mathbb{C}[c_{1}, \cdots, c_{n}]$ donde $c_i$ son los polinomios simétricos en $y_i$ donde $y_i$ son las variables en $\mathbb{C}[y_1, \cdots, y_n]$. ¿Cómo puedo ver las clases de Chern como simétrica polinomios?

Answer 1

Recordar el principio de separación de vector complejo paquetes.

Teorema. (Complejo Principio de separación) Para todo el rango de $n$ vectoriales complejos paquetes de $p: E \longrightarrow X$, existe un colector $Y$ y un mapa de la $f: Y \longrightarrow X$ tal que

1. $f^\ast: H^\ast(X) \longrightarrow H^\ast(Y)$ es inyectiva.

2. $f^\ast E = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n$ cuando la $L_i$'s son complejos de la línea de paquetes.

El principio de separación nos dice que para fines de cálculo, se puede considerar un vector complejo paquete como Whitney suma de los complejos de la línea de paquetes.

Dado ese fraccionamiento $f^\ast E = L_1 \oplus \dots \oplus L_n$, escribir $y_k = c_1(L_k)$. A continuación, el Whitney fórmula de producto y connaturalidad de las clases de Chern, tenemos $$\begin{align} f^\ast c(E) & = c(f^\ast E) \\ & = c(L_1 \oplus \cdots \oplus L_n) \\ & = \prod_{k = 1}^n c(L_k) \\ & = \prod_{k = 1}^n (1 + c_1(L_k)) \\ & = \prod_{k = 1}^n (1 + y_k), \end{align}$$ que tras la expansión de la muestra que $f^\ast c_k(E)$ $k^\text{th}$ primaria simétrica polinomio en el $y_i$'s.