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Cohomology de Grassmannian

Deje Gr el infinito complejo Grassmannian colector. Sabemos que H(Gr)=C[x1,,xn] donde xi son las clases de Chern de tautológica paquete. Pero H(Gr) también es isomorfo al anillo de C[c1,,cn] donde ci son los polinomios simétricos en yi donde yi son las variables en C[y1,,yn]. ¿Cómo puedo ver las clases de Chern como simétrica polinomios?

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Lennart Regebro Puntos 136

Recordar el principio de separación de vector complejo paquetes.

Teorema. (Complejo Principio de separación) Para todo el rango de n vectoriales complejos paquetes de p:EX, existe un colector Y y un mapa de la f:YX tal que

  1. f:H(X)H(Y) es inyectiva.

  2. fE=L1Ln cuando la Li's son complejos de la línea de paquetes.

El principio de separación nos dice que para fines de cálculo, se puede considerar un vector complejo paquete como Whitney suma de los complejos de la línea de paquetes.

Dado ese fraccionamiento fE=L1Ln, escribir yk=c1(Lk). A continuación, el Whitney fórmula de producto y connaturalidad de las clases de Chern, tenemos fc(E)=c(fE)=c(L1Ln)=nk=1c(Lk)=nk=1(1+c1(Lk))=nk=1(1+yk), que tras la expansión de la muestra que fck(E) kth primaria simétrica polinomio en el yi's.

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