Si $u \in H^s(\mathbb{R}^n)$$s > n/2$,$u \in L^\infty(\mathbb{R}^n)$?

Question

¿Cómo puedo utilizar la transformada de Fourier a ver que si $u \in H^s(\mathbb{R}^n)$$s > n/2$,$u \in L^\infty(\mathbb{R}^n)$, con el límite $$\|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \le C\|u\|_{H^s(\mathbb{R}^n)},$$ the constant $C$ depending only on $s$ and $$n?

Answer 1

Creo que vale la pena mencionar una prueba de uso de la transformada de Fourier de la analítica de la definición de $H^s$, aunque sólo sea por su síntesis.

Tenemos $$\| u \|_{L^\infty} \leq \| \sombrero{u} \|_1 \leq \| \langle \xi \rangle^{s} \|_2 \| \langle \xi \rangle^s \hat{u} \|_2 \leq C \| u \|_{H^s}.$$ Aquí $\langle \xi \rangle = \sqrt{1 + \lvert \xi \rvert^2}$. Interpolación con $L^2$ implica $$\| u \|_p \leq C(s) \| r \|_{H^s} \quad \forall 2 \leq p \leq \infty.$$

Answer 2

Esta es una parte de la prueba continua de las inclusiones de Sobolev teorema. Es decir, si $s-k > n/2$,$H^s(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow C^k(\mathbb{R}^n)$.

Si $|\xi| \geq 1$, vamos a $r=|\xi|$, $d\xi=r^{n-1}dr$ $r \in [1,\infty)$ y

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{k-s} d\xi < \infty$ $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle \int_{1}^{\infty} (1+r^2)^{k-s}r^{n-1} dr \cong \int_{1}^{\infty} r^{2k-2s}r^{n-1} dr < \infty$

si $2k-2s+n-1 < -1$, es decir, si $s-k > n/2$. Que, si $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, se multiplica y se divide por $\omega_{s-k}(\xi)=(1+|\xi|^2)^{(s-k)/2}$ en

$\displaystyle D^\alpha \varphi(x)= \mathcal{F}^{-1}(\widehat{D^\alpha \varphi})(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{D^\alpha \varphi}(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi = \int_{\mathbb{R}^n} (2\pi i \xi)^\alpha \widehat{\varphi}(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d \xi$

y por Schwarz desigualdad, se sigue que

$\displaystyle |D^\alpha \varphi(x)| \leq \int_{\mathbb{R}^n} |(2\pi \xi)|^\alpha \omega_{s-k}(\xi)|\widehat{\varphi}(\xi)| \omega_{k-s}(\xi) d\xi \leq \left \| D^\alpha \varphi \right \|_{H^{s-k}} \left( \int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{k-s} d\xi \right)^{1/2}$

y entonces (i) $\left \| D^\alpha \varphi \right \|_{L^{\infty}} \leq C \left \| D^\alpha \varphi \right \|_{H^{s-k}} < \infty$.

Ahora, si $u \in H^s(\mathbb{R}^n)$, ya que el $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ es denso en $H^s(\mathbb{R}^n)$, $\exists \lbrace \varphi_m \rbrace \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ tal que $\varphi_m \rightarrow u$$H^s(\mathbb{R}^n)$, pero para (i) tenemos que $\lbrace D^\alpha \varphi_m \rbrace_{m=1}^\infty \subset \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ es uniformemente de Cauchy, y sigue la $D^\alpha \varphi_m \rightarrow D^\alpha u$ uniformemente $\forall |\alpha| \leq k$, por lo $u \in \mathcal{C}^k(\mathbb{R}^n) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$, y en su caso, usted puede tomar $k=0$.

Tenga en cuenta que $\left \| \cdot \right \|_{H^{s-k}}$ $\left \| \cdot \right \|_{H^{s}}$ son dos equivalentes de las normas.

He estudiado recientemente este teorema, pero debe ser correcto.