Whitehead para mapas

Question

Me hizo la siguiente afirmación sobre el Secreto de los Blogs Seminario, y ahora no estoy seguro de que es cierto:

Deje $f: X \to Y$ $g: X \to Y$ dos mapas entre finito CW complejos. Si f y g inducir el mismo mapa en $\pi_k$, para todo k, entonces f y g son homotópica.

Estaba diciendo la verdad?

EDIT: Ya no me dicen nada acerca de basepoints, probablemente debería haber dicho que f y g inducir el mismo mapa

$[S^k, X] \to [S^k, Y]$.

Esto también va a lidiar mejor con la situación en la que X e y están desconectados. Yo estaría interesado en saber un resultado como este, ya sea con la punta de los mapas o nonpointed mapas. (Aunque, por supuesto, si usted trabaja con la punta de los mapas tienes que tomar X e y se conecta, porque $[S^k, -]$ no puede ver nada más allá del número de componentes en ese caso).

Answer 1

Para espectros finitos, tu pregunta es precisamente de Freyd generar hipótesis, que está abierto.

Answer 2

Esto no es cierto. Considere, por ejemplo, un grado 1 mapa de un toro $S^1 \times S^1$ $S^2$(concretamente, se dan cuenta de que el toro como un cuadrado con identificaciones y, a continuación, el colapso de los límites de la plaza a un punto). Este mapa es trivial en todos los homotopy grupos (ya que para cualquier $n>0, \pi_n$ es 0 para el dominio o codominio), pero no es homotopically trivial porque es distinto de cero en $H_2$.

Si desea demanda que los espacios de ser simplemente conectado, usted puede conseguir un contraejemplo considerando cohomology de operaciones: la copa de la plaza, por ejemplo, ofrece un mapa de $K(\mathbb{Z},n)$ $K(\mathbb{Z},2n)$que es trivial, pero por la misma razón que en el ejemplo anterior debe ser 0 en homotopy grupos. Este ejemplo no es finito-dimensional, pero es probable que sea posible para encontrar uno que es ... yo no sé cómo porque no sé cómo mostrar un mapa es trivial en homotopy grupos si los espacios que se han infinitamente muchos triviales homotopy grupos cuyos valores son desconocidos, que es el caso para la mayoría de las finito-dimensional ejemplos.

Answer 3

Otro contraejemplo interesante es dado por supuesto "mapas fantasmas", que inducen el mapa cero en todos los grupos de homotopía pero no son nullhomotopic. Dado un infinito X CW-complejo que es una Unión $\bigcup X_n$ de Subcomplejos mando finito, Milnor describe las clases de homotopía de mapas hacia fuera y donde se dan los mapas fantasmas "lim $^1$"-término.

Por ejemplo, creo que este Brayton Gray usa esto para construir un mapa de $CP^\infty$ $S^3$ que es nullhomotopic $CP^n$ % todos $n$.

Answer 4

Lo siento revivir una vieja pregunta, pero no puedo resistir haciendo hincapié en la imagen grande. La pregunta es si la homotopy grupos, considerados como functors $\pi_n: \mathrm{HoTop_{*,fin}} \to \mathrm{Set}$, en conjunto son fieles. Esto es equivalente a preguntar si el producto de estos functors $\prod_n \pi_n: \mathrm{HoTop_{*,fin}} \to \mathrm{Set}$ es fiel. No sólo es este functor no es fiel, pero Freyd mostró que no functor de $\mathrm{HoTop}_{*,fin}$ $\mathrm{Set}$puede ser fieles! Lo mismo va para los functors $\mathrm{HoTop}_{fin} \to \mathrm{Set}$, y, por supuesto, esto significa que no hay fieles functor $\mathrm{HoTop} \to \mathrm{Set}$ o $\mathrm{HoTop}_* \to \mathrm{Set}$.

Una categoría de admitir a un fiel functor a $\mathrm{Set}$ (tales como grupos, o anillos, o los complejos de la cadena, o espacios topológicos en el punto de nivel, o casi cualquier categoría que usted sabe que no es el derivado de la categoría de algo) se denomina hormigón; Freyd el resultado dice que el homotopy categoría no es concreto. Tenga en cuenta que un no-hormigón functor no puede tener un fiel functor a cualquier hormigón categoría! Akhil Mathew tiene un bonito blog va a través de la prueba de Freyd del resultado. Se trata del hecho de que en el homotopy categoría usted puede tener una clase adecuada de (convenientemente generalizada) cociente de los objetos, lo que no puede suceder en una concreta categoría.

En este contexto, Freyd de generación de hipótesis (como se menciona en el Josh Shadlen de la respuesta), lo que implica que la estable homotopy categoría (finito de espectros) es de hormigón, es absolutamente asombroso.(ver Eric Wofsey el comentario de abajo enderezar me fuera en ello)

EDITAR Como se señaló en los comentarios, la pregunta era en realidad acerca de finito homotopy tipos, que forman una categoría pequeña (de ahí el hormigón por tomar el subproducto de todos los representables). Y Freyd los resultados realmente no tienen nada que decir acerca de la fidelidad de la homotopy grupos finitos homotopy tipos. Freyd no muestran que el homotopy categoría de finito-dimensional CW complejos no es concreto. Así que lo que he dicho anteriormente es sólo precisa si por $\mathrm{HoTop}_{*,\mathrm{fin}}$ me refiero a la homotopy categoría de finito-dimensional CW complejos en lugar de finito.

EDIT2 Aquí una relación entre Freyd las ideas y la no fidelidad de la homotopy grupos finitos CW complejos. Freyd formula una relación de equivalencia en morfismos de un objeto en la punta de su categoría en que se generaliza la noción de dos morfismos tener la misma imagen (es decir, $A\to B \sim A \to C$ si para cada a $X \to A$ ha $X \to B = 0$ fib $X \to C= 0$). Esta relación de equivalencia es reflejada por cualquier fiel functor $F$, es decir, si $Ff$ $Fg$ tienen la misma imagen generalizada, a continuación, $f$ $g$ tienen la misma imagen generalizada. El mapa de $S^1\times S^1 \to S^2$ triturar el 1-esqueleto a un punto de no tener la misma imagen generalizada como un punto, pero después de aplicar el $pi_*$ lo hace.

Una clase de equivalencia de mapas con la misma imagen generalizada puede ser considerada como una "generalizada cociente". Freyd la idea era que en la homotopy categoría, un objeto puede tener una clase adecuada generalizada de cocientes, que es imposible en una concreta categoría. Para finitos CW complejos, no tenemos una clase adecuada generalizada de cocientes, pero podemos exhibir un valor distinto de cero generalizada cociente, el cual es enviado a cero por la homotopy grupos.

Answer 5

Otra clase de ejemplos proviene de grupo cohomology: si $G$ es cualquier grupo con interesantes mayor cohomology $H^n(G, A), n \ge 2$ no nullhomotopic mapas de $BG \to B^n A$ algunos $n \ge 2$. Pero la fuente y el destino no tiene un valor distinto de cero homotopy grupos en cualquier grado, de modo que cualquier mapa induce el cero mapa en homotopy grupos. Si estas cohomology grupos de todo desapareció entonces, entre otras cosas, los grupos no tendría trivial central extensiones y así todos finito $p$-grupos sería de primaria abelian!

(Edit: es cierto que, en los ejemplos anteriores no implican generalmente finito complejos. Pero con el $G$ podemos tomar $BG$ a ser asféricas, múltiple y, a continuación, podemos truncar $B^n A$.)

Este es el preciso analógica, en la topología, el hecho de que en álgebra homológica que en la mayoría de los interesantes abelian categorías $\text{Ext}^i$ puede ser trivial para $i \ge 1$, lo que refleja la existencia de mapas en categorías derivadas entre dos objetos que no tienen un valor distinto de cero en la homología de grupos en cualquier grado.

Grupo cohomology resulta ser un buen modelo para la pregunta más general:

¿Qué es un conjunto completo de obstáculos para un mapa de $f : X \to Y$ (digamos que señaló, entre señaló CW complejos) para ser nullhomotopic?

Existe una obstrucción en la teoría de la venida de un intento de elevar $f$ a través de las etapas de la Whitehead de la torre

$$\dots \to Y_2 \to Y_1 \to Y_0 \cong Y$$

de $Y$. Aquí $Y_k$ $(k-1)$conectado a la cubierta de $Y$, obtenido a partir de $Y$ matando $\pi_1, \pi_2, \dots \pi_{k-1}$ (por lo que el índice indica el grado más bajo en el que se puede tener un trivial homotopy grupo). En particular, $Y_1$ es el componente conectado el punto de base y $Y_2$ es la cobertura universal.

En cada etapa, supongamos que hemos levantado $f$ a un mapa de $f_n : X \to Y_n$. Ahora, $Y_n$ tiene la mínima homotopy grupo $\pi_n(Y_n) \cong \pi_n(Y)$, y por lo tanto no es natural mapa

$$k_n : Y_n \to B^n \pi_n(Y)$$

la inducción de un isomorfismo en $\pi_n$. El retroceso de este mapa, a lo largo de $f_n$ da un cohomology de clase

$$k_n \in H^n(X, \pi_n(Y))$$

que yo también voy a llamar a $k_n$, e $f_n$ ascensores de un mapa de $f_{n+1} : X \to Y_{n+1}$ fib de este cohomology de clase se desvanece. (En general, $k_n$ sólo está bien definida una vez que hemos elegido un levante $f_n$.) El remate es que ahora, $f$ es nullhomotopic iff todos los ascensores $f_n$ existen iff todas las clases $k_n$ se desvanecen. Si $X$ ha finito cohomological dimensión, a continuación, en principio, esto es sólo un número finito de condiciones para la verificación.

Ejemplo. Deje $Y = BO$ ser la clasificación de espacio de la estabilidad real del vector de paquetes, vamos a $X$ ser un suave colector, y deje $f : X \to BO$ ser la clasificación del mapa de la estable tangente paquete. A continuación, $f$ es nullhomotopic iff $X$ es estable parallelizable. La característica de las clases de $k_n$ son Bott periódico. Estas son las primeras:

$k_1$ es el primer Stiefel-Whitney clase $w_1$. Se desvanece el fib $f$ ascensores de un mapa de $f_2 : X \to BSO$ fib $X$ es orientable. Aquí $BSO$$Y_2$.

$k_2$ es el segundo Stiefel-Whitney clase $w_2$. Se desvanece el fib $f_2$ ascensores de un mapa de $f_3 : X \to BSpin$ fib $X$ tiene un giro de la estructura. Aquí $BSpin$$Y_3 \cong Y_4$.

$k_3$ automáticamente se desvanece. $k_4$ es el primer fracciones de Pontryagin clase $\frac{p_1}{2}$. Se desvanece el fib $f_3$ ascensores de un mapa de $f_5 : X \to BString$ fib $X$ tiene una estructura de la cadena. Aquí $BString$$Y_5 \cong Y_6 \cong Y_7$.