Está en mis manos para tener un surjective función

Question

Deje $f$ ser cualquier función de $A \to B$.

Por definición, $f$ es un surjective función de si $\space \forall y \in B \space \exists \space x \in A \space( \space f(x)=y \space)$.

Así que, para cualquier función sólo tiene que asegurarse de que no "siguen" a cualquier elemento "solo" en el conjunto de $B$. En otras palabras, el alcance de la función tiene que ser igual al codominio conjunto.

El rango depende de la función, pero el codominio se puede elegir por mí. Así que si elegí un codominio igual al rango tengo un surjective función, independientemente de la función que se le da.

M I derecho?

Answer 1

Hay dos convenciones sobre lo que la "función" de los medios.

Definir las funciones de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{\geq}$ $f(x) = x^2$ y $g(x) = x^2$. ($\mathbb{R}^{\geq}$ significa la no-negativo reauls)

En una convención, una función "es" nada más que su gráfica. Por lo $f$ $g$ son la misma función. No tiene sentido preguntar "es $f$ surjective?"; en su lugar usted tiene que hacer preguntas como " $f$ surjective en $\mathbb{R}$?" (sin embargo, el objetivo a menudo se omite porque está implícito en el contexto)

En el otro convenio, el dominio y el codominio son parte de lo que la función de "es". Por lo $f$ $g$ son de diferentes funciones, debido a que tienen diferentes codomains. Tiene sentido preguntar si $f$ es surjective, y no lo es, mientras que $g$ es surjective.

IMO el segundo convenio es un poco mejor idea, y creo que algo más común.

Answer 2

Sí. $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$, $x\mapsto \sin x$ no es surjective, pero $g\colon \mathbb R\to \mathbb [-1,1]$, $x\mapsto \sin x$ es. Por lo tanto, son diferentes mapas y vemos que especificar el codominio es importante.

Answer 3

Hay propiedades intrínsecas y extrínsecas propiedades. Se surjective es una propiedad extrínseca. Si no se le da una particular codominio usted no puede concluir si es o no una función es surjective.

Ser inyectiva, por otro lado, es una propiedad intrínseca. Que sólo depende de la función como un conjunto de pares ordenados.