Resultado: La única cosa que usted realmente necesita para este cálculo es la definición de un(anti)-partícula de los estados (a continuación) y la aplicación de la aniquilación de los operadores en los que, dadas por
$$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle =\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle,\\b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle.\\\\$$
Derivación: Que se solicita la acción de los operadores de creación y aniquilación de partículas de los estados, dado por
$$|\vec p, s; \vec 0, 0\rangle = a_{\vec{p}}^{s\daga}|0\rangle\\
|0,0;\vec p, s\rangle = b_{\vec{p}}^{s\daga}|0\rangle.$$
Tiene sentido también definir los siguientes dos partículas de los estados, que son sólo la no-cero si de nuevo todos los ${\vec p_i, s_i}$ ${\vec q_j, s_j}$ respectivamente distintas.
$$|\vec p, s; \vec q, r\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}}^{s\dagger}b_{\vec{q}}^{r\dagger}-b_{\vec{q}}^{r\dagger}a_{\vec{p}}^{s\dagger}\right)|0\rangle\\
|\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2;\vec 0,0\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}-a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}\right)|0\rangle\\|\vec 0,0;\vec q_1, r_1, \vec q_2, r_2\rangle = \frac{1}{2}\left(b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}-b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}\right)|0\rangle$$
cuando decidimos utilizar un (anti)simétrica definición, es claro que el uso de las anticommutation-relaciones, todos los estados pueden ser escritos sin la diferencia de dos términos.
Ahora, para encontrar la acción de los operadores vamos a utilizar el mencionado anticommutation relaciones
$$\{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^r\}=0 \qquad \{a_{\vec p}^{s\dagger}, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=0\\ \{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=\delta^{rs} \delta^3(\vec p - \vec q)$$
y similares para la $b$-operadores. También, todos los $b$ anticommutes con todos los $a$.
Nota, que los estados están adecuadamente normalizado, siempre que el vacío $|0\rangle$ es:
$$\langle \vec p, s; \vec 0, 0|\vec q, r; 0, 0\rangle = \langle 0| a_{\vec{q}}^{r}a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ = \langle 0|\{a_{\vec{q}}^{r},a_{\vec{p}}^{s\dagger}\}|0\rangle\\=\delta^{rs} \delta^3(\vec p-\vec q)$$
El hecho de que todos los del b y del anticommute podemos derivar de forma inmediata
$$b_{\vec p}^s |\vec q, r;0,0\rangle = 0, \\a_{\vec p}^s |0,0;\vec q, r\rangle = 0.$$
También, debido a la creación de los operadores anticommute con ellos, los hemos
$$\left(a_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2 = 0 =\left(b_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2$$
así que
$$a_{\vec p}^{s\dagger} |\vec p, s; 0, 0\rangle = 0 = b_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec p, s\rangle.$$
Por supuesto, si actuamos con la creación de los operadores con diferentes momentos y/o tiradas en el de una partícula estados, vamos a crear los dos anteriores-partícula y partícula-antipartícula de los estados). Podemos combinar esto con la última fórmula de la siguiente manera:
$$a_{\vec p_1}^{s_1\daga} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2; 0,0\rangle\\
b_{\vec p_1}^{s_1\daga} |0,0;\vec p_2, s_2\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|0,0;\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2\rangle\\
a_{\vec p}^{s\daga} |0,0;\vec q, r\rangle = |\vec p, s; \vec q, r\rangle\\
b_{\vec q}^{i\daga} |p, s;0,0\rangle = -|\vec p, s; \vec q, r\rangle
$$
Ahora, lo verdaderamente interesante$^{1}$ cosa que sucede, si nos aniquilar a una partícula de la partícula estado (o una anti-partícula de la anti-partículas de estado).
$$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = a_{\vec p_1}^{s_1}a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}|0\rangle \\=\{a_{\vec p_1}^{s_1}, a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}\}|0\rangle \\=\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle$$
y de forma análoga
$$b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle$$
