Estoy aprendiendo Mecánica Cuántica, y me encontré con este hecho de que la derivada de una función de paso unitario de Heaviside es la función delta de Dirac. Lo entiendo intuitivamente, ya que la función escalonada unitaria de Heaviside es plana a ambos lados de la discontinuidad, y por tanto su derivada es cero, excepto en el punto en el que salta a 1, donde es infinita. Sin embargo, lo que no entiendo intuitivamente es que cuando la discontinuidad es, digamos $\alpha$ entonces la derivada es $\alpha \delta(x)$ mientras que uno esperaría ingenuamente que se mantuviera $\delta(x)$ . Al fin y al cabo, tanto si la discontinuidad es de 1 unidad como de 10 unidades, la pendiente sigue siendo infinita. El razonamiento intuitivo que funcionó para la función de paso unitario parece romperse aquí. Parece vudú en este punto. ¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto, al nivel de alguien bastante nuevo en la función delta de Dirac?
Respuestas
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Supongamos que $H(x)$ es la función de paso unitario, y su derivada es la función Delta,
$$\frac{d}{dx} H(x) = \delta(x)$$
Entonces multiplicando por algún factor $\alpha$ da,
$$\frac{d}{dx} \left(\alpha H(x)\right) = \alpha \frac{d}{dx} H(x) = \alpha \delta(x)$$
Así que la afirmación se deduce realmente del hecho de que la diferenciación es una operación lineal.
Esta es una forma más directa de verlo. En lugar de trabajar con la función de Heaviside, considera la función $$\frac{1}{2}\,\left(1+\tanh{\frac{x}{\epsilon}}\right)~.$$ Ahora, esta es una función agradable y suave para finitos $\epsilon$ . Pero si empiezas a hacer $\epsilon$ más pequeño (pruebe a trazarlo para valores como $\epsilon=1$ y $\epsilon=0.1$ ) verás que se parece cada vez más a la función escalonada de Heaviside. Tomando la derivada con respecto a $x$ da $$\frac{1}{2\epsilon}\,\text{sech}^{2}\frac{x}{\epsilon}~,$$ que, como era de esperar, se parece cada vez más a la función delta para valores cada vez más pequeños de $\epsilon$ . De hecho, estas funciones dan buenas representaciones de las funciones escalón y delta, respectivamente, en el $\epsilon \to 0$ límite.
Esta representación de la función escalonada tiene un "salto" de 1 en $x=0$ Así que para conseguir un salto de $\alpha$ podría empezar con $$\frac{\alpha}{2}\,\left(1+\tanh{\frac{x}{\epsilon}}\right)~.$$ Tomando la derivada con respecto a $x$ explica por qué se obtiene $\alpha\,\delta(x)$ .
Una prueba más formal:
Estamos tratando la función Heaviside $\Theta$ y la función delta $\delta_0$ con apoyo en $0$ ambos como distribuciones. Esto significa que se definen por su acción sobre las funciones $f$ que se desvanecen con suficiente rapidez en $\infty$ .
$\delta_0(f) = f(0)$ .
$\Theta(f) = \int_{-\infty}^\infty \Theta(x) f(x) dx$
La derivada de una distribución $d$ se define por la dualidad: $d'(f) = -d(f')$ . (Intuición: Se trata de una integración por partes, con $f$ desapareciendo en el infinito).
Así que $\Theta'(f) = -\Theta(f') = -\int_{-\infty}^\infty \Theta(x) f'(x)dx = - \int_0^\infty f'(x) dx = f(0) - f(\infty) = f(0)$ .
Igualmente, por linealidad, $(\alpha\Theta)'(f) = \alpha\Theta'(f) = \alpha \delta_0(f)$ .
Utiliza el teorema fundamental del cálculo ... Si $\Theta'(x) = \delta(x)$ Entonces deberíamos tener
$$\int_{-1}^{+1} \delta(x) = \int_{-1}^{+1} \Theta'(x) = \Theta(1) - \Theta(-1)$$
El lado izquierdo es 1: una de las propiedades que definen la función delta es que tiene un área 1 bajo el pico en 0. El lado derecho también es 1 porque la función theta aumenta exactamente 1 unidad en 0.
¿Ves la conexión aquí?
