El cálculo de la integral de la $\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{d \theta}{a^2 \sin^2\theta+b^2 \cos^2\theta}$

Question

Yo quería calcular el $$\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{d \theta}{a^2 \sin^2\theta+b^2 \cos^2\theta}$$

Así que resuelto la integral indefinida primera (por sustitución): $$\int\frac{d \theta}{a^2 \sin^2\theta+b^2 \cos^2\theta}=\frac{1}{b^2}\int\frac{d \theta}{\cos^2\theta \left(\frac{a^2}{b^2} \tan^2\theta+1 \right)} =\left[u=\frac{a}{b}\tan\theta, du=\frac{a}{b\cos^2\theta} d\theta \right ]\\=\frac{1}{b^2}\int\frac{b}{a\left(u^2+1 \right)}du=\frac{1}{ab}\int\frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{a}{b}\tan\theta \right )+C$$

Entonces:

$$\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{d \theta}{a^2 \sin^2\theta+b^2 \cos^2\theta}=\frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{a}{b}\tan (2\pi) \right )-\frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{a}{b}\tan 0 \right )=0$$

Lo que es incorrecto (la respuesta debe ser$2\pi/ab$$a>0,b>0$).

Por un lado, la sustitución es correcta, así como la integral indefinida mismo (según Wolfram es, de hecho,$\frac{1}{ab} \arctan \left(\frac{a}{b}\tan\theta \right )$ ), pero por otro lado puedo ver que me había puesto los límites durante la sustitución yo llegaría a $\int\limits_{0}^{0} \dots = 0$ porque $\theta = 0 \to u=0$$\theta = 2\pi \to u=0$.

¿Por qué hay un problema y cómo puedo obtener la respuesta correcta?

Edit: Aquí es Wolfram respuesta:

Wolfram es correcto porque $$\frac{a^2 b^2}{2}\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{d \theta}{a^2 \sin^2\theta+b^2 \cos^2\theta}$$ is the area of an ellipse (defined by $x=a\cos t , y=b\sen t$), that is $$\frac{a^2 b^2}{2}\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{d \theta}{a^2 \sin^2\theta+b^2 \cos^2\theta}=\pi ab$$

Answer 1

La sustitución es incorrecta : la tangente no es bijective en el intervalo de $[0,2\pi]$. En primer lugar, usted necesita para restringir el mismo a un intervalo en el que la tangente se comporta mejor. El uso de la $\pi$-periodicidad de la función que se desea integrar, usted puede demostrar que:

$$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{a \sin^2 (\theta)+b \cos^2 (\theta)} d \theta = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{a \sin^2 (\theta)+b \cos^2 (\theta)} d \theta,$$

y partir de ahí.

Tenga en cuenta que esta es una buena advertencia sobre el uso de Wolfram (o cualquier formal el sistema de cómputo) : la fórmula de la integral indefinida es buena, pero se mantiene sólo en cada intervalo de $(k\pi -\pi/2, k\pi+\pi/2)$, que el programa no se decirte.

Answer 2

Usted tiene todo el derecho a $$ \frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan(2\pi))-\frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan(0)) $$ Ahora $\frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan(2\pi))$ $2\pi$ porque $\arctan$ e las $\tan$ son funciones inversas.

Así, obtenemos
$$ \frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan(2\pi))-\frac{1}{ab}\arctan(\frac{a}{b}\tan(0))=\frac{1}{ab}2\pi-0 $$ o $$ \frac{2\pi}{ab} $$