Preguntas acerca de la convergencia en Lp

Question

Si $X_n$ converge a$X$$L^p$, tenemos $X_n^p$ converge a$X^p$$L^1$?

Podemos probar que es verdadera cuando p=1,2 fácilmente. Tengo curiosidad por saber si esto es cierto para todos los $p>0$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$|x^p - y^p| = \left|\int_y^x p t^{p-1}\ dt \right| \le p (|x|+|y|)^{p-1} |x - y|$$ Por lo tanto si $1/p + 1/q = 1$ (donde $1 < p,q < \infty$) $$\eqalign{\|X^p - Y^p\|_1 &\le \int p (|X| + |Y|)^{p-1} |X - Y| \cr &\le la p \|(|X| + |Y|)^{p-1}\|_q \|X - Y\|_p \cr &= p \left(\int (|X| + |Y|)^p\right)^{1/q} \|X - Y\|_p \cr &= p \||X|+|Y|\|_p^{p/q} \|X - Y\|_p \cr &\le p (\|X\|_p + \|S\|_p)^{p/q} \|X - Y\|_p\cr}$$ Si $X_n \to X$ en $L^p$, $\|X_n\|_p$ es acotado, y por lo tanto obtenemos $\|X_n^p - X^p\|_1 \to 0$.

Answer 2

No es correcto para $0 < p < 1$. Tome $X_n: [0,1] \to \mathbb{R}$ $X_n(x) = n \cdot I_{[0,1/n)}(x)$ donde $I_A$ = indicador de función de un conjunto $A$. A continuación, $\|X_n\|_p = n^{1-1/p}$ y, por tanto,$X_n \to 0$$L^p$$p < 1$, pero $X_n$ no convergen en $L^1$.

Answer 3

Es resuelto por Robert Israel.