Sé cómo calcular la trayectoria ortogonal de una determinada familia de curvas. Y se dice en mi libro de texto que si el ortogonal de la trayectoria de una curva es sí, entonces decimos que la familia de curvas es auto ortogonal. Como un ejemplo, ortogonal de la trayectoria de la parábola $$y^2=4a\left(x+a\right)$$ Is the same function. But how this is possible? Orhogonal trajectory cut every member of given family normally. I cannot get an idea of self orthogonality. I tried to graph the above equation with suitable $un$ . But I cannot agree with the fact that the same function is its orthogonal trajectory. I try an algebraic approach. If $m$ is the slope of such function at a point $x$ , then $\frac{-1}{m}$ is also its slope at $x$ . This gives, $$m^2=-1\\ \implica {m=i}$$ por lo tanto, la pendiente que se obtiene es un valor complejo para tales funciones. Pero no puedo estar de acuerdo con él. Donde está mi error? Alguien me puede ayudar?
Respuesta
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Tenga en cuenta que si $m$ es la pendiente de una función en la familia, que se $\frac{-1}{m}$ es la pendiente, en el mismo $x$, de otra función de la misma familia ( este es su error, supongo).
Ver la figura:
donde esto se ilustra para los valores de $a=1$ $a=-1$ para las funciones de su familia ( la semiplane $y<0$ es simétrica). Las dos funciones son: $$ a=1 \rightarrow y^2=4(x+1) \rightarrow y=2\sqrt{x+1} $$ $$ a=-1 \rightarrow y^2=4(1-x) \rightarrow y=2\sqrt{1-x} $$ que han ortogonal tangentes a $x=0$.
Para una analítica enfoque:
se puede ver que $m=\frac{a}{\sqrt{a(x+a)}}$, por lo que la condición de othogonality por dos curvas de la familia con los parámetros de $a$ $b$ es: $$ \frac{a}{\sqrt{a(x+a)}}=-\frac{\sqrt{b(x+b)}}{b} $$ cuadrado, con la condición de $ab<0$, esto se convierte en: $$ x^2+(a+b)x=0 $$ y esto significa que si las dos curvas tienen un punto en común en $x=0$, en este punto son ortogonales, o pueden ser ortogonales a $x=-(a+b)$.
