¿Por qué topologists aversión secuencias?

Question

Bueno, el encabezado puede ser una exageración, pero...

Mi texto introductorio sobre el punto-establecer la topología define la convergencia de punto de secuencias en espacios topológicos, pero inmediatamente se establece que estos, de hecho, no juegan un papel importante en la teoría de espacios topológicos, contrario a $\Bbb R^n$. De hecho, se afirma que gran parte de la motivación para el desarrollo del conjunto de la topología de la era deshacerse de la gran confianza en punto de las secuencias.

Pero, ¿por qué esta motivación? ¿Por qué usted quiere deshacerse de una herramienta tan valiosa como punto de secuencias?

Answer 1

En algún lugar de Munkres' topología de libro de texto no es (o fue en una edición anterior?) un conjunto de ejercicios que demuestran que las redes de hacer para espacios topológicos generalmente lo secuencias para la métrica de los espacios y de los demás espacios se satisface el primer axioma de countability.

Aquí hay tres ejemplos conocidos de la convergencia de una red:

• $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac 1 n = 0$.
• $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.
• $\displaystyle\lim_{\|P\|\to0} \sum_P f(x)\,\Delta x=\int_0^1 f(x)\,dx$ donde $\|P\|\to0$ significa que la malla de la partición $P$ enfoques $0$ y la suma es sobre todos los intervalos de la partición, y $x$ está en el intervalo en cuestión, y $\Delta x$ es la longitud de dicho intervalo.

El tercer ejemplo de arriba es la única instancia de convergencia de una red que es familiar para todos los que nunca toman una topología de curso y no es un límite de una secuencia o de un límite de una función de la especie tratada habitual en el primer curso de cálculo.

PS: En los ejercicios de Munkres, es útil el uso como la dirigida conjunto cuyos miembros son los índices en la red, el conjunto de todos los barrios de la cuestión a la que la red es la convergencia, ordenado por la inversa de la inclusión.

Answer 2

Debido a que la habitual (y útiles propiedades) de las secuencias en espacios métricos son falsas en espacios topológicos sin más hipótesis. Sólo un ejemplo: la continuidad secuencial no es equivalente a la continuidad.

Answer 3

No es que uno siente la necesidad de "deshacerse de" secuencias. Estás en lo cierto que las secuencias son útiles, por la sencilla razón de que muchos, muchos espacios topológicos son espacios métricos, y las secuencias pueden ser utilizados para detectar el cierre de subconjuntos de un espacio métrico. Secuencias siendo útil incluso para topologists en el límite actual de la investigación.

Sin embargo, existen espacios topológicos que no son de métrica, y para que las secuencias no son suficientes para detectar el cierre. Estos espacios topológicos surgir de forma natural, y es necesario entender para muchas aplicaciones. Así que uno necesita para desarrollar una teoría para entender. Por lo tanto el desarrollo de la separación de los axiomas y temas asociados de punto de ajuste de la topología. Luego, por supuesto, los temas se vuelven intelectualmente interesantes en sí mismos, por lo tanto, el crecimiento del conjunto de puntos de la topología.

Aquí es un ejemplo, una extremadamente no-Hausdorff cociente del espacio de la torus $S^1 \times S^1$. Considere el flujo de $t \cdot (z,w) = (e^t z, e^{\sqrt{2}t}w)$, definido por $t \in \mathbb{R}$. Dos puntos $(z,w)$, $(z',w')$ están en la misma "línea de flujo" si existe $t$ tal que $t \cdot (z,w) = (z',w')$. Esta es una relación de equivalencia, y así las líneas de flujo formar una descomposición del toro. Cada línea de flujo es la inyectiva imagen de una línea de pendiente $\sqrt{2}$ en la universalización de la cobertura $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Cada línea de flujo es denso en $S^1 \times S^1$. Por lo tanto en el cociente del espacio de $S^1 \times S^1$---el que se ha definido mediante la descomposición en las líneas de flujo---cada punto es densa. Las secuencias son bastante inútiles para explorar la topología del cociente.

Answer 4

Incluso en la vida cotidiana de cálculo, o en ${\mathbb R}^n$, secuencias sólo debe ser utilizado para la construcción de nuevas e interesantes objetos, como $\exp$ o $\sqrt{123}$, pero no como una herramienta didáctica para la comprensión de los límites o de continuidad. Estas nociones son bastante difíciles de entender para muchos en su versión original. Por lo tanto, no tiene sentido para ellos cargan con al menos tres más anidada $\forall$'s y $\exists$'s, como es el caso cuando los límites y la continuidad se explica en términos de secuencias.