Cómo probar que $\prod_{n=0}^\infty \frac{(4n+2)^2}{(4n+1)(4n+3)}=\sqrt{2}$

Question

Cómo probar que $$\displaystyle\prod_{n=0}^\infty \frac{(4n+2)^2}{(4n+1)(4n+3)}=\sqrt{2}$$

Gracias en avance.

Answer 1

La reescritura de un producto parcial como

$$\prod_{n=0}^N \frac{(4 n+2)^3 (4 n+4)}{(4 n+1)(4 n+2)(4 n+3) (4 n+4)} = \frac{2^{3 N+3} (2 N+1)!!^3 4^{N+1} (N+1)!}{(4 N+4)!} $$

Utilice el hecho de que

$$(2 N+1)!! = \frac{(2 N+1)!}{2^N N!} $$

y

$$M! \approx M^M e^{-M} \sqrt{2 \pi M} \quad (M \to \infty)$$

El resto es el cuidado de la contabilidad, y asegurándose de utilizar el hecho de que

$$\lim_{M \to \infty} \left ( 1+\frac1{M} \right )^M = e$$

el buscado después del resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Desde el Weierstrass producto para la función coseno tenemos: $$ \cos z = \prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{4z^2}{(2n+1)^2\pi^2}\right) $$ y tomando a $z=\frac{\pi}{4}$ se sigue que: $$\prod_{n=0}^{+\infty}\left(1-\frac{1}{(4n+2)^2}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ cuya LHS es sólo el recíproco de nuestro producto.

Answer 3

Sugerencia: Reescribir el infinito producto de la expresión en términos de la $\Gamma$ funcióny, a continuación, aplicar Euler de la famosa reflexión de la fórmula.