Encontrar una única función continua

Question

Deje $f$ una función continua en a $[0,1]$. ¿Cómo se puede demostrar que existe una única función continua $g$ $[0,1]$ satisfactorio $$g(x) = \frac{1}{2}g\left(\frac{x+1}{2}\right) + f(x)$$ for all $x\in[0,1]$?

Answer 1

Deje $\Phi$ el mapa de $$\Phi:C[0,1]\to C[0,1]\\ (\Phi(g))(x)=\frac12 g\left(\frac{x+1}{2}\right)+f(x)$$

Ahora, $\left\lVert \Phi(g)-\Phi(h)\right\rVert_\infty\le \frac12\left\lVert g-h\right\rVert_\infty$.

Por lo tanto, $\Phi$ es una contracción. Por asignación de contracción teorema, existe exactamente una $g\in C[0,1]$ tal que $\Phi(g)=g$, que es exactamente la solución a este problema. $\ \,\ \square$

Answer 2

Sin asignación de contracción: vamos a $a\in [0,1]$. Set$a_0 = a$$a_n = (a_{n-1} + 1)/2$. Tenemos $$g(a_{n-1}) = \frac{1}{2} g(a_n) + f(a_{n-1})$$ so by induction, $$g(a_0) = \frac{g(a_{n+1})}{2^{n+1}} + \sum_{k=0}^{n} \frac{f(a_k)}{2^k}$$ for all $n\ge 0$. Taking $n\to\infty$, we see $$g(a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(a_k)}{2^k}$$ which converges since $f$, being continuous on the compact interval $[0,1]$, is bounded. This proves both existence and uniqueness of $g$.

Answer 3

Las funciones de $\hat g(t):=g(1-t)$ $\hat f(t):=f(1-t)$ juntos satisfacer la ecuación funcional $$\hat g(t)=\hat f(t)+{1\over2}\>\hat g\!\left({t\over2}\right)\ .\tag{1}$$ En particular, uno ha $\hat g(0)=2\hat f(0)$. La iteración $(1)$ obtenemos la condición $$\hat g(t)=\sum_{k=0}^n {\hat f(2^{-k}t)\over 2^k}+{1\over2^{n+1}}\hat g(2^{-(n+1)}t)\qquad (n\geq0)\ .$$ para $\hat g$. Dejando $n\to\infty$ podemos concluir que necesariamente $$\hat g(t)=\sum_{k=0}^\infty {\hat f(2^{-k}t)\over 2^k}\ .$$ Es fácil comprobar que esta $\hat g$ es continua y, de hecho, satisface $(1)$. De ello se desprende que el originalmente funcional determinada ecuación tiene solución única $$g(x)=\hat g(1-x)=\sum_{k=0}^\infty{f\bigl(1-2^{-k}(1-x)\bigr)\over 2^k}\ .$$