¿Hay una función para cada posible línea?

Question

Actualmente estoy en pre-cálculo (High School), y tengo una pregunta relativamente sencilla que cruzó mi mente el día de hoy. Si tuviera que tomar un gráfico y trazar una línea al azar de cualquier longitud finita, en que no hay dos puntos a lo largo de esta línea tenían el mismo $x$ coordinar, ¿habría alguna función que podría representar esta línea? Si es así, ¿hay una manera podemos demostrar esto?

Answer 1

Como un aparte para complementar las respuestas que ya han conseguido, me gustaría señalar que una función no necesita tener una fórmula para ser considerada como una función. Esto es debido a que una función es una relación entre dos conjuntos (el dominio y el rango), con la propiedad de que sólo se obtiene un único valor de salida para cada entrada (esta es la regla de que sólo puede haber un $y$ valor para cada una de las $x$ valor).

Por ejemplo, podemos definir una función de $f$ desde el set $\{0,1,2\}$ para el conjunto de $\{5,10,15\}$ dando las reglas

$$f(0)=10 \\f(1)=5 \\f(2)=15$$

Podría ser difícil o imposible encontrar una fórmula para $f$ en el que puedes conectar $0$, $1$, o $2$ y obtener la respuesta correcta, como resultado, sin embargo, $f$ es una función ya que a cada entrada me da un resultado único.

Por la misma razón, usted puede dibujar una línea recta o una línea ondulante, una línea con agujeros en ella, o sólo un montón de puntos, etc, y el tiempo que han asegurado que no hay ningún punto en la gráfica en un solo $x$ valor le da más de una $y$ valor que, básicamente, se han definido una función. Esto es cierto si usted puede encontrar una fórmula para ello o no.

Answer 2

Sí. Si los dos extremos de la línea de $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ entonces la función es $f:[x_1,x_2]\to \mathbb R$ definidas en $f(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$.

Answer 3

El solo líneas rectas en el $x$-$y$ plano que no funciones son aquellos que están en posición perfectamente vertical. Esos son de la forma $x=c$ donde $c$ es una constante.

Todas las demás líneas se puede expresar en la forma $y =f (x)= mx + b$ donde $m $ es la pendiente de la línea y $b $ $y$- interceptar-- el $y$ valor al$x$$0$.

Dados dos puntos cualesquiera en la línea podemos encontrar esta fórmula, y dada su fórmula podemos encontrar en cualquier punto de la línea.

Tal función se llama a una función lineal.