Prueba de libertad local en curvas

Question

Sea $X$ una variedad suave (sobre un campo algebraicamente cerrado, si hace alguna diferencia), y $\mathscr{F}$ un haz coherente en $X$. He oído decir que $\mathscr{F}$ es localmente libre si y solo si para todo morfismo $f : C \to X$ con $C$ una curva suave, la tracción hacia atrás $f^*\mathscr{F}$ es localmente libre. ¿Cómo se demuestra algo así?

Es suficiente mostrar algo como lo siguiente: si $M$ es un módulo finitamente generado sobre un anillo local regular $A$, y para cada $A$-álgebra $B$ que es un anillo de valoración discreto el producto tensorial $B \otimes_A M$ es libre, entonces $M$ es libre. Pero eso es todo lo que puedo ver.

Answer 1

(Leí incorrectamente la declaración la primera vez).

1. Si $F$ es localmente libre en $X$, entonces para cualquier morfismo $f : C\to X$ para cualquier esquema $C$, la retroacción $f^*F$ es localmente libre. De hecho, esta es una cuestión local, por lo que puedes suponer que $F$ es libre. Entonces $F$ es una suma directa de copias de $O_X$, por lo tanto $f^*F$ es una suma directa de copias de $f^*O_X=O_C.

2. Como $X$ es reducido, es suficiente mostrar que el mapa $x\mapsto d(x)=\dim F\otimes k(x)$ es localmente constante en $X. Podemos suponer que $X$ es conectado. Entonces se sabe que a través de cualquier par de puntos $x_1, x_2$ de $X$ pasa una curva suave $C$. Como $F|_C$ es plano, $\dim F\otimes k(t)=d(t)$ es localmente constante (por lo tanto constante) en $C. Por lo tanto $d(x_1)=d(x_2)$ y $d$ es constante.

EDIT 2'. No encontré una referencia para el hecho mencionado anteriormente (existencia de una curva suave $C$ que pasa por $x_1, x_2$). Sin embargo, en Mumford, Abelian Varieties, Lema p. 56, se prueba que pasa una curva irreducible $D$ por $x_1, x_2. Ahora considera el mapa de normalización $\pi : C\to D$ de $D. Entonces $\pi^*F$ es localmente libre por hipótesis. Entonces $d(t)=\dim \pi^*F\otimes k(t)=\dim F\otimes k(\pi(t))$ es constante en $C. Esto implica que $d(x_1)=d(x_2).

Bueno, la existencia de una curva suave $C$ dentro de $X$ es una consecuencia de Bertini. Esto está en un artículo de Kleiman y Altman "Bertini theorems for hypersurface sections containing a subschemes" (sobre campos infinitos), y en un artículo de Poonen "Smooth hypersurface sections containing a given subscheme over a finite field" sobre campos finitos. Pero como vimos anteriormente, no necesitamos resultados tan fuertes. El de Mumford es bastante fácil.