Espera que se superponen

Question

Supongamos que tengo un intervalo de longitud de $x$ y quiero soltar $n$ palos de la unidad de longitud en (donde $\sqrt x<n<x$). Lo que se espera que se superponen entre palos? ($x$ puede ser considerado suficientemente grande como para que los efectos de borde son insignificantes.)

Supongo que esto es un problema estándar y tiene un nombre pero no lo sé. Se relaciona con el problema del cumpleaños, un discreto versión de este problema, y también a Rényi el problema de aparcamiento que no permite la superposición en lugar de la medición.

Supongo que hay al menos dos maneras de medir la superposición: el total de la longitud del intervalo cubierto por más de un palo, o el mismo ponderado por el número de palos, menos 1, en ese punto. La segunda es un poco más natural en mi aplicación, pero me gustaría ser feliz, ya sea con.

Edit: he encontrado la Comparación Continua y Discreta de Cumpleaños Coincidencias: "el Mismo Día" versus "en el Plazo de 24 Horas" (2010) que trata de encontrar la probabilidad de que ningún solapamiento en mi modelo, en lugar de la duración prevista de la superposición.

Answer 1

Deje $t \in [0,x]$. La probabilidad de que un determinado palo golpea $t$ (suponiendo izquierda punto final de palo elegido de manera uniforme en $[0,x-1]$) es

$p(t) = \begin{cases} \frac{t}{x-1} & t < 1 \\ \frac{1}{x-1} & 1 < t < x-1 \\ \frac{x-t}{x-1} & x-1 < t < x\end{cases}$.

La probabilidad de que $\geq 2$ palos golpear $t$ (a través del complemento) $1-(1-p(t))^n- np(t)(1-p(t))^{n-1} $.

Si $H(t,\omega)$ es el indicador para el caso de que $\geq 2$ palos golpear $t$, el total de la longitud de dichos puntos es $\int_{t=0}^x H(t,\omega) dt$. Tomar la expectativa, y nos quedamos con $\int_0^x (1-(1-p(t))^n - np(t)(1-p(t))^{n-1} dt$. De alimentación que en algunos simbólico integrador?

Para el promedio ponderado de la versión, la misma idea de los rendimientos de $\int_0^x \sum_{k=2}^n (k-1) \binom{n}{k} p(t)^k (1-p(t))^{n-k} dt$.

Que es todo lo que tengo ganas de hacer por el momento. Interesante forma... Un potencial de simplificación es si usted se considera un intervalo cíclico.